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數學高中不等式有什麼知識點

教育 更新时间:2025-03-07 10:19:31

數學高中不等式有什麼知識點（與不等式相關的概念）1

一、“同向相加”與“同向相乘”

兩個不等式“相加”或“相乘”，要注意施行的前提條件，兩個不等式“相加”，隻要同向就可以，如

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，

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，則

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。而兩個不等式“相乘”，不僅要求同向，而且兩端還必須同号，如

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，

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，則

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，若

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，

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，則

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。切記：同向不等式可以相加，不能相減；同向正值（負值）不等式可以相乘，不能相除。

二、不等式中的“分類讨論”與“分段讨論”

解不等式時的讨論可分為兩種類型：分類讨論和分段讨論。當讨論的對象與求解的對象不一緻時，稱為分類讨論，它主要針對不等式中的參數讨論：當讨論的對象與求解的對象一緻時，稱為分段讨論，它主要針對不等式中的未知數讨論。因此對這兩種類型的讨論結果的處理也不一樣，分類讨論的結果應分情況進行分别表達，而分段讨論則要求各分段内部先求交集（即讨論對象的範圍與求解出的範圍求交集），然後再對所有各段的結果求并集，即為所求解的結果。

例如：在解不等式

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時，對x分三段讨論，每段的結果是：（1）當

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時，

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；（2）當

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時，

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；（3）當

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時，恒成立。最後的結果應為其并集，即為

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。

又如：在解關于x的不等式

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時，對參數分兩類讨論，分類的結果是：（1）

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時，

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；（2）

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時，

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。

三、均值定理“證明不等式”與“求函數最值”

利用均值定理

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證明不等式時，隻需滿足一個條件，即

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。但利用均值定理求函數的最值時，要滿足通常所說的“一正、二定、三相等”。

例如：當

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時，（1）證明

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；（2）求函數

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的最小值。（1）可以直接利用均值定理證明；而（2）求最小值時，

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中的等号不成立，因此2不是最小值，事實上，因為，所以

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。當且僅當

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，且

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，取等号，因此

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的最小值為

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。

四、“有解”與“對一切恒成立”

借助數軸可知函數

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的值域為

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，“不等式有解”等價于“的最小值”，因此，隻要求出

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的最小值即可，即

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。而“對一切恒成立”等價于“的最大值”，隻要求出的最大值即可，即

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。

例如：不等式

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有解時，實數的範圍是

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；而不等式對一切恒成立時，實數的取值範圍是

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。

五、“差值比較法”與“商值比較法”

差值比較法與商值比較法是比較法的兩種基本形式，也是比較實數大小的一種最根本方法。要正确使用這兩種方法，就必須清楚這兩種方法的應用原理。

差值比較法的理論依據是不等式的基本性質“

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；

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”；商值比較法的理論依據是“若

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且

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；若

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，且

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”。兩者不同的是：差值比較法可以針對任意的兩個數（或式子）；商值比較法針對兩個正實數（或式子）。

--END--

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