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三角函數是高考必考的一個題型，大部分時候是比較簡單的，但是個别情況下難度也是比較大的。

所謂”湊角“，分兩種情況：

一種是利用前面已知的兩個括号内部分通過相加減或倍數來湊出後面要求式子的括号部分。

一種是利用前面已知的一個括号内部分與一個具體角相加減或倍數來湊出後面要求式子中括号部分。

例題：

解析：這個題目難度算是比較大的，既涉及到湊角，又涉及到判斷餘弦正負。

按照最一般的思路，括号裡面有具體角，我們需要用和差化積化開，然後再結合sin²α cos²α=1，求出sinα和cosα的值，然後代入後面展開的式子。

但是，按照一般思路的話，會面臨幾個問題：

α角的範圍并沒有給，開根号的時候不知道取正還是取負。

我們可以畫一個上面的圖，正弦值是4/5，餘弦值有可能是3/5，也有可能是-3/5。

我們知道tan(π/3)=√3 如果是右邊的情況，tan（α π/3）=4/3。

我們知道正切值在（0，π/2）是單調遞增的，所以π/3＞α π/3。

這樣的話，α就小于零，和題意不符，所以α π/3終邊落到第二象限，也就是左邊的情況。

所以cos（α π/3）取-3/5，這個題目也就出來了。

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再來三個單純湊角的，實際上是比較簡單的。

第一個題前面隻有一個等式，所以後面要求的式子中括号部分應該是加減一個具體角，或者一個具體角減括号部分。

很顯然α-π/12 _____=α π/6，很顯然橫線部分應該是π/4。

所以sin（α-π/12）=sin（α π/6-π/4）=sin（α π/6）cos（π/4）-cos（α π/6）sin（π/4）

再根據sin²（α π/6） cos²（α π/6）=1,因為這裡說了α是銳角，所以sin（α π/6）也是正的,4/5，

代入即可，這樣的話，題目就解決了。

第二題前面也是隻有一個等式，所以也是前面括号内加減一個具體角，或者一個具體角減去前面括号内，湊出後面括号部分。這裡牽扯到倍數問題。

前面是α，後面是2α，很顯然2（α π/6）-_____=2α π/12，很顯然橫線部分為π/4

所以sin（2α π/12）=sin（2（α π/6）-π/4）=√2{sin[2（α π/6）]-cos[2（α π/6）]}/2

cos（α π/6）=4/5 α的取值為（0，π/2）所以sin（α π/6）=3/5。

這樣sin2（α π/6）和cos2（α π/6）都可以求出來，然後整個題目就出來了。

第三個題，前面有兩個等式，那就是兩個括号内部分相加減，或者倍數後相加減，然後湊出要求式子的括号部分。

很顯然（α β）-α=β。所以tanβ=tan[（α β）-α]然後根據正切的和差化積乘開之後，題目就出來了。

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我們根據向量數量積公式可以得到cos（p，q）=(sinA-cosB)/[√（1 sin²A）√（1 cos²B）]

要想判斷角是銳角直角還是鈍角，就是判斷sinA-cosB的正負。

因為三角形是銳角三角形，所以每個角的範圍都是在（0，π/2）。

除此之外還有一條，那就是A B＞90° A＞90°-B

因為sin（90°-B）=cosB，所以sinA-cosB=sinA-sin（90°-B）

在（0，π/2）正弦函數單調遞增，所以A＞90°-B 所以sinA-sin（90°-B）＞0

所以夾角為銳角。

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規律總結：

湊角方法：

如果前面一個等式，那就是已知等式括号内部分加減一個具體的角（一般也是特殊角），或者具體角減去括号内部分，然後湊出後面要求式子括号内部分。

如果前面兩個等式，那就是兩個已知等式括号内部分相加減，湊出要求的式子括号内部分。

有的時候，需要加倍或減半再相加減。

判斷餘弦值正負：

根據正餘弦函數在某個範圍的單調性，有的時候需要取一些特殊值來過渡一下。

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