數學遊戲，作為一種運用數學知識的大衆化的智力娛樂活動，因其趣味性，往往容易激發人們的數學熱情與興趣，因而對普及數學而言是非常有益的。另一方面，從曆史角度看，數學遊戲還曾對數學的發展起到過重要而積極的作用。特别是，它曾直接導緻過新的數學分支的創立,拓撲學就是典型的例子。

01 柯尼斯堡七橋問題

如柯尼斯堡七橋問題，常被作為是拓撲學所研究的第一個問題，柯尼斯堡城建于1255年，原是德國東普魯士的一部分。第二次世界大戰後，劃歸前蘇聯（現屬俄羅斯），并被更名為加裡甯格勒。這座名城在數學上經常被提起源于與它有關的一個著名數學問題。

這一問題遠溯至18世紀初。當時有一條名為普雷蓋爾的河從柯尼斯堡城中穿過，河中有兩個島，河上有七座橋連接着這兩個島及河的兩岸。如下圖所示。

柯尼斯堡城的居民喜歡沿着城市的河岸和島嶼散步。不知從何時起出現了一個有趣的娛樂問題：能否找到一條路線，可以經過所有七座橋，但不重複經過任一座橋（而且回到起點）？

這一問題後來傳到了偉大數學家歐拉耳朵裡，并引發了他的研究興趣。1736年，歐拉向俄國科學院提交了一篇論文，徹底解決了這一問題。

歐拉先是把問題做了簡化處理。他用點代表陸地，用線段或弧代表橋，具體一點說就是用A、D表示兩個小島，點B、C表示河的左右兩岸，再用連接兩點的線表示橋，這樣就把原圖變成了一個由四個點和七條線組成的新圖形。

在經過這樣的抽象後，原來的問題相當于問：能否用一筆畫出上面的圖。于是，"柯尼斯堡七橋問題"轉化成一個"一筆畫"問題。如果上圖能一筆畫成，就說明"一次連續走過七橋而無重複"的走法是存在的；反之，如果能證明不可能一筆畫出上圖，就說明這種走法是不存在的。

随後，歐拉先研究了一個更一般的問題：什麼樣的圖形能一筆畫出。

要想一筆畫出一個圖，總要選一個起點，選一個終點，還要經過一些中間點。也就是說，一筆畫的過程是點、線相間排成一連串：起點-線-頂點-線……線-頂點-線-終點。起點可以由幾條線彙合，但是畫圖時，總是先從它出去，然後進來出去幾次（進出一次，得到兩條線：進來是一條線，出去也是一條線），而最後一次是出去的，所以集中在起點的線隻能是一條、三條、五條……即是奇數條。終點是先畫進去，然後出去進來幾次，而最後一次是進來的，所以集中在終點的線也隻能是奇數條（這樣的點我們稱為奇點）。作為中間各點，有一條"進入線"就有相應的一條"離開線"，應是進去出來的次數相等，即每一點上都隻能有偶數條線（這樣的點我們稱為偶點）。

因此簡單說，中間點一定是偶點。于是，如果起點與終點是不同的兩個點，則隻有起點和終點是奇點，共兩個奇點；如果起點與終點重合，即最後又畫回到起點，那麼起點、終點也成了偶點，這時所有的點就都是偶點了，即奇點數為0。

由此，我們可以看到一個結論：一個圖能否一筆畫出，是由它的奇點的個數來決定的。能一筆畫的圖形，其奇點的個數隻能是0或2。

最後将這個結論應用到具體的七橋問題上。要不重複地走完柯尼斯堡的七座橋，那麼轉化後的圖中奇點個數隻能為0或2時才能做到，如果加上回到起點的要求，那麼奇點個數隻能為0。但可以發現，上圖中的奇點個數有4個，因此可以下結論說，這樣的散步路線是不存在的。

02 歐拉對七橋問題的圓滿解決，成為拓撲學的先聲。

就這樣，歐拉通過抽象分析思考把七橋問題化歸為"一筆畫問題"，并以令人難以置信的輕巧解決了一筆畫的可能性問題，從而圓滿地解決了柯尼斯堡七橋問題。對數學而言，歐拉這一頗受贊譽的研究更重要的貢獻在于它拓寬了數學的研究領域。

在論文的開頭歐拉曾寫道："讨論長短大小的幾何學分支，一直被人們熱心研究着。但是，還有一個至今幾乎完全沒有探索過的分支；萊布尼茲最先提過它，稱之為'位置的幾何學'。這個幾何學分支讨論隻與位置有關的關系，研究位置的性質；它不去考慮長短大小，也不涉及量的計算。但是至今未有過令人滿意的定義，來刻畫這門位置幾何學的課題和方法……"歐拉文章中提到的這門新的幾何學分支現在被稱為拓撲學。

正如歐拉所提到的，在這門新幾何中我們平常所熟悉的距離、大小是無關緊要的，直線、圓、角度等也失去了意義。它所關心的是圖形在彎曲、拉伸、壓縮或扭轉等連續變換下保持不變的拓撲性質。正因為研究這類性質，所以拓撲學獲得了一個更為通俗的叫法"橡皮幾何學"。

在拓撲學上，歐拉做出的另一重要貢獻是發現并證明了簡單多面體的歐拉公式：V-E F=2，其中V是頂點的個數，E是棱的個數，F是面的個數。為紀念歐拉的這一重要發現，德意志民主共和國還曾發行了如右圖所示郵票。

高斯1833年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。

在1847年，J.B.利斯廷根據希臘文τόπος和λόγος（"位置"和"研究"），提出Topology這一數學名詞，即拓撲學。Topology，直譯是地質學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。這是拓撲學的萌芽階段。

1851年，德國數學家黎曼在複變函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題組合拓撲學的奠基人是法國數學家龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特别是關于複函數的單值化和關于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的。他的主要興趣在流形。

在1895~1904年間，他創立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓系數，探讨了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。

03 簡說拓撲的理解及應用

舉一個簡單的例子來說明 究竟什麼是拓撲學吧。

骰子和台球在什麼理論裡是同一種東西呢？答案是在拓撲學的分析裡就是一個東西，但是台球和甜甜圈就不是一個東西，原因就是因為那個洞嗎…嗯嗯，确實是因為這個洞，所以拓撲學也被戲稱橡皮泥幾何學，這樣一來，我們通過拉伸、擠壓等操作能夠互相轉化的都是一個東西，但是甜甜圈有個洞，光靠捏就不行了，隻有通過鑽孔、撕裂、粘合等操作才能把沒洞的台球變成甜甜圈，所以台球和甜甜圈在拓撲學裡也是兩種東西。

可以說 拓撲學(topology)可以這樣定義，是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。它隻考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。因此隻要是一個胚子能夠捏出來的形狀，在拓撲學中都是同一個東西，這種概念叫做"同胚"。那麼面包圈和什麼東西是同一種東西呢？比如說水管，甚至人體……

例如，任意一個三角形在任意的延伸、伸縮的變形變換中，可以叠合住一個圓形。所以這個延伸、伸縮變換是一種同胚變化，因而三角形和圓形在拓撲上被視作同胚或等價的。

但是事實上，杯子無法捏成甜甜圈的模樣，因為杯子都是瓷或塑料做的，它們都太硬。相對的，在拓撲學中研究的對象，都必須是"柔軟"的，從某種意義上說就像可以流動的液體一樣。然而，在傳統的、基于内基的歐幾裡德空間（比如笛卡爾坐标系）中，得出甜甜圈等于杯子的結論是不可想象的。相應的，把基于歐幾裡德空間的幾何學稱為是"堅硬"的。

所以，有數學家幽默地評論說："拓撲學家是一個不知道一隻面餅圈與一隻咖啡杯有什麼差别的人。"

在拓撲學中，一個圖形經過彎曲、拉伸等拓撲變換得到的圖形與原圖形是拓撲等價的。如下圖所示，幾個圖形從拓撲學角度而言就是等價的。順便指出，可以證明平面上地圖與球面上的地圖是拓撲等價的。因此在球面地圖上也有與平面地圖等價的四色猜想。

又如，掌心和指紋的紋理樣式，所有的指紋都具有共同的特點，如環點和三叉點（三條線融合）。在1965年，英國醫學遺傳學家LionelPenrose指出掌紋和指紋服從一個普遍的規律：任何有5隻手指的手，三叉點一定比環點多4個。（1979年他的兒子Roger使用拓撲學證明了這一規律）

當查看你的手相時，你會注意到很少一些類型的奇點。兩種最基本的奇點類型是三叉點和環點。

指紋上所有其他的奇點可由這兩種構造出來。沒錯，拓撲學就是這樣的神奇并且有趣。

連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在着，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對于連續性數學自然是帶有根本意義的，對于離散性數學也起着巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本内容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。

拓撲學在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數學分支中都有廣泛的應用，在衆多自然學科和結構設計中也是非常實用的工具。

拓撲在現實生活中的應用注定是間接的,這和我們學了平面幾何可以度量田地，學了立體幾何可以架橋建屋，學了解析幾何可以運用在計算衛星軌道等等，都不太一樣。但拓撲的理論，支撐着許多數學理論的根基；拓撲的知識，會出現在很多工程問題的隐秘角落裡，一眼看不到，但卻非它不可。在物态變化，計算機圖形學，醫學圖像處理，建築設計，時空逆轉與蟲洞……小到微塵，大到宇宙，都會有拓撲的廣闊用武之地。

拓撲是非常有用的，但是寫這些小文不可能讓人學會它的應用，小編隻希望小讀者們看了有所啟發，在日後遇到費解的問題時，多一種思路，多一些靈感。

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