上野健爾 (Kenji Ueno)

内容來源：本文獲授權轉載自公衆号數學與人文（ID：math-humanity），原載于丘成桐等主編 “數學與人文” 叢書第 11 輯《好的數學》，北京：高等教育出版社，2013。

作者：上野健爾 (Kenji Ueno)，著名代數幾何學家，京都大學數學系名譽教授，日本數學協會會長，關孝和數學研究所所長。

譯者：楊寶山、葉玲

編輯 | 子曰

好數學之含義随數學之發展一直在變化着，此話題亦和好教科書與好老師相關。我想從以下幾個觀點來論述。

複數和複分析

何為好數學？可以分為兩種不同類型：針對學習而言，何為好數學；以及針對研究而言，何為好數學。當然，此兩種類型亦是彼此相關聯的。好數學之概念随數學之發展一直在改變。例如，虛數是卡爾達諾 (Cardano, 1501—1576) 在其名著《大術》(Ars Magna) 中首次引入的。為了求解兩個數，其和、其積依次為10、40，而引入虛數（第37章，法則2），這令當時數學家很困惑。卡爾達諾本人對于虛數的實際意義也很猶豫，他寫道：

“虛數就是這樣可以像通常一樣進行算術運算，這些令人感到神秘的最後結果猶如其名，真是又精緻又不中用。”

奇怪的是，雖然《大術》主要緻力于3次方程和4次方程的解法，但是他卻沒有考慮3次方程的虛數解，從而使他錯過了發現虛數的重要性和有用性。不久，邦貝利 (Bombelli, 1526—1572) 受卡爾達諾著作的激勵，利用虛數完整地發展了3次方程理論。甚至，他用虛數還發現常用數的一些奇怪表達式，譬如

兩邊開立方便知，上述等式成立。

歐拉 (Euler, 1707—1783) 是個例外。他自由地使用複數并發現一些優美公式，譬如

即使歐拉已經發現許多關于複數的有趣結果，仍然很少有數學家認識到複數是數。因此，在1799 年，高斯 (Gauss, 1777—1855) 寫作他的關于代數基本定理的論文，此文陳述了任何具有複系數的方程在複數範圍内均有一個根的理論，他避免了利用複數來陳述代數基本定理。取而代之，他将定理改寫為，任何具有實系數的方程均可以分解為1 次、2 次不可約多項式的乘積。

完全意識到複數之重要性是在柯西 (Cauchy, 1789—1857) 發現複變函數論（複分析）和黎曼 (Riemann, 1826—1866) 建立代數函數論以及黎曼曲面論之後的事。經過300 餘年，幾乎所有數學家才認識到複數确實是數。

故事還在繼續，在20 世紀30 年代量子力學誕生時，物理學家發現複數的使用是非常關鍵的。如此一來，複數不僅在數學的許多不同領域扮演着重要角色，在物理學依然如此。現在，複分析學已經成為最漂亮的數學學習課題之一。

可以想象，在高斯的時代就很難說，涉及複數的數學是好數學。你必須在數學上有好的直覺和鑒賞力才行。因此，曆史上僅有柯西和黎曼才會深入研究複數。這告訴我們，可供研究的好數學實際上依賴于不同的人。隻有随後的數學發展才能證明你當初的選擇成功與否。這也告訴我們，隻要你對某個課題非常感興趣，它對你來說就是好數學。

好教科書

另一方面，可供學習的好數學就是學習時必須選擇好課題。當然，找到相關的好教科書是非常重要的。我想強調一下，沒有适合所有人的好教科書。

我有一段特别經曆。剛進入大學時，我還沒有學過複分析學就曾經試圖閱讀岩澤健吉 (Kenkichi Iawasawa) 的《代數函數論》。第一章開始是賦值論，從邏輯上講要理解其推理并不困難。但是，我當初并不知道代數函數域的賦值對應着相應的黎曼曲面上一點這樣的事實。因此，我難以理解賦值論的真正含義。這樣就沒法進一步閱讀該書了。幾個月之後，我再次閱讀該書就稍有入門了，就這樣反複重複地閱讀這本書。最終，我便能理解該書的内容了，因為其間我不得不學習了一些其他的包括複分析方面的數學知識。

但是，這種方法隻有在你找到适合自己的好教科書時才起作用。我還有另一段經曆。幾乎在閱讀岩澤健吉《代數函數論》的同時，我還開始閱讀一本關于複流形上的調和積分的書。從這本書中，我第一次了解到黎曼幾何、複分析和纖維叢理論。對于當時的我來說，書中包含的許多新的數學概念是如此困難，我不得不反複多次閱讀，直到我認為自己掌握了相關課題為止。後來，當我選擇複流形論為我的研究領域時，我才發現從這本書中我幾乎沒有學到什麼。這是因為作者在書中僅僅堆砌了已有知識，而沒有自己的任何新見解。該書的品位不能和岩澤健吉的書相提并論。當然，如果當初我在此課題上更有天資的話，通過學習調和分析主要結果，也應該獨立地在自己的選題上有所建樹！現在回頭說這些話，無非是想說明一個道理：要為自己認真仔細地選擇好教材，以便我們更容易在自己所學課題上發現好的觀點和思路。

通常，以名著為教科書還是具有廣泛适應性的。但是，如果我們感覺到對它沒有多少閱讀興趣的話，那最好還是另換一本再試試看吧。

歐氏幾何和非歐幾何

初等幾何對于訓練正确的邏輯思維非常重要。但是，初等幾何往往使人頭疼，因為解題并不容易。你經常不得不做輔助線，一旦找到恰當的輔助線，問題便會迎刃而解。這會讓你享受到發現的快樂。從這個角度而言，初等幾何可謂最令人着迷的數學課題之一。在你苦思冥想證明方法時，你就得同時進行正确的邏輯推理。困難的是邏輯推理并不足以讓你找到恰當的輔助線，這要求你得有良好的幾何直覺。當然，邏輯推理對于得到證明思路是必需的，而要找到恰當的輔助線，你就得更加努力。常見的情況是，為了考試僅僅死記硬背一些定理和問題的證明過程，而不求甚解，這是一種不好的學習數學的态度和習慣。如果你隻是記憶證明過程，就會失去提高你數學能力和數學直覺的良好機會。

如果能了解一點非歐幾何知識，初等幾何會變得更有吸引力。非歐幾何的前期曆史是久遠的。歐幾裡得在他的《幾何原本》卷 I 中，曾經利用第5公設來證明命題 29。

命題29

若一條直線與兩條平行直線相交，則所成的内錯角相等，同位角相等，同旁内角的和等于兩直角的和。

第5公設

若一條直線落在兩條直線上所構成的同旁内角和小于兩直角和，則把兩條直線無限延長，它們将在同旁内角和小于兩直角和的一側相交。

圖1 第5公設

通過閱讀《幾何原本》卷I，可以感覺到歐幾裡得本人似乎對第5公設心存猶豫。事實上，随後的古希臘學者一直在努力消除對第5公設的疑問。他們或者尋求一個更加自然的等價公設來替代它，或者試圖把它當作一條定理并給出證明。中世紀的阿拉伯學者也有過這方面嘗試。直到17—18 世紀，歐洲數學家也開始卷入這個問題之中，其中的主要人物有薩凱裡(Saccheri,1667—1732)。在證明第5公設的所有這些努力清楚地表明，第5公設等價于下面的平行公設。

平行公設

過已知直線 l 外一點 P 能且隻能做一條直線與已知直線 l 平行。

圖2 若過點 P 的直線 m₁ 和 m₂平行于直線 l，則過點 P 的位于 m₁和 m₂之間的直線 m 也平行于直線 l

這似乎是荒謬的。但是，在 1829 年羅巴切夫斯基 (Nikolai Lobachevsky, 1792—1856) 發表了關于新幾何學的論文，從雙曲非歐幾何的平行公設建立了非歐幾何。在1832 年波爾約 (Janos Bolyai, 1802—1860) 的有關非歐幾何的内容也在他父親的一本歐氏幾何書的附錄中出版了。現在，這種新幾何學叫做雙曲非歐幾何。開始的時候，幾乎沒有數學家相信他們的結果，僅有高斯是個例外。高斯也曾獨立發展過非歐幾何，卻從未發表過他在這方面的成果。後來，有幾位幾何學家發現了非歐幾何的優美的現實模型，非歐幾何才逐漸被數學家們所接受。但是甚至在19 世紀末，仍有數學家不願意承認非歐幾何。康德 (Emmanuel Kant, 1724—1804) 把歐氏幾何作為他的哲學基礎之一。當時的歐洲哲學界普遍認為歐氏幾何是絕對真理的化身，它是無懈可擊的，它是人類所生存世界的唯一幾何解釋。

以一種完全不同的面目，高斯在他的一篇論文中，研究了3 維空間曲面的内蘊幾何性質。曲面上兩點的最短距離不必是直線。黎曼把高斯的理論作為其中一個具體的模型，建立了更一般的幾何學，即所謂的黎曼幾何學，從而使各種幾何學在數學上成為可能。黎曼指出，我們居住的現實世界的幾何模型隻能由物理來決定。這樣一來，他便為愛因斯坦 (Einstein) 的相對論在數學上鋪平了道路。

下面的圖 3 是一種非歐幾何的模型。它是一個單位圓盤，所謂的“直線”在這裡對應着圓盤内部的半圓線，這些半圓線均垂直于邊界圓，或者說直徑。其中任意兩個半圓線在交點所成之夾角為這兩個半圓線在交點的切線的夾角。這是雙曲非歐幾何的一種簡單明了、富有啟發性的模型。龐加萊 (Poincaré) 就是利用這個模型建立了自守函數論。

圖3 雙曲非歐幾何的一種簡單明了的模型

以上曆史說明，預測一種理論的未來并非易事。不過如果能夠多少了解一些非歐幾何，我們中學的初等幾何學習會更令人興奮，因為比較一下兩種幾何的相關定理是非常有意思的。譬如，雙曲非歐幾何不存在相似性概念。這難道不令人吃驚嗎？在歐氏幾何中，兩個三角形的對應角相等隻能得出這兩個三角形相似，而非歐幾何中這兩個三角形必然全等。π —— 圓的周長與直徑之比—— 在歐氏幾何中完全獨立于直徑的大小，而在非歐幾何中 π 事實上依賴于直徑的大小在變化。因此，了解更高級的相關課題，并比較相關課題中的類似概念，可以深化人們的理解能力。這就是說，學習相關課題的更高級知識對于提高自己在課題上的理解力和鑒賞力作用甚大。但是，怎麼才能做到這一點呢？僅僅依靠自己是很困難的。所以，有個好老師來點撥你，有一些好朋友來一起讨論大有必要，其效果不可小觑。

可供研究的好數學

到底何為可供研究的好數學？這涉及數學的許多不同領域和其他學科，它也是不斷發展變化的。經常見到的情形是，在數學的某個領域發展的高峰時期，人們感到它非常漂亮和重要。但是，令人遺憾的是剩餘的有趣問題異常難解。如果你能解答如此難題，你會無比幸運。不過通常這樣的問題确實是非常困難的，你不懈努力卻進展甚微。因此，為自己找到一個感興趣的新興課題不失為一種明智的作法。另一方面，這種選題的重要性隻有未來才可檢驗，新人是容易捷足先登的。

在我的學生時代，泰希米勒 (Teichmüller) 空間理論發展到高峰，我錯誤地認為它似乎難有新的進展。但是幾十年之後，它在幾個不同方向都發展迅速。它和映射類群論相關，亦和物理學紐結理論 (knot theory) 以及弦理論 (string theory) 相關聯。一個相關案例是紐結理論。在我的學生時代，紐結理論僅是拓撲學的一個小分支，老師建議我們做這方面研究得有好的幾何直覺。那時候隻有一種紐結不變式，即所謂亞曆山大 (Alexander) 多項式。亞曆山大多項式不夠強大，不足以用來區分不同的紐結，因此必須有好的幾何直覺，才能區分複雜的紐結。新的進展發源于完全不同的領域，即算子代數論。瓊斯 (Jones) 發現了以自己命名的關于紐結不變式的瓊斯多項式。這個發現之後，各種新的紐結不變式應運而出，從而呈現出 3 維流形拓撲類和紐結理論具有深層關聯。現在，紐結理論已經成為數學的最活躍領域之一。這也說明，一個新的發現會徹底改變數學的面貌，使一個非常專門化的領域成為整個數學的中心。

我的一位朋友是紐結理論方面的專家。他曾告訴我，在他年輕時候有許多朋友甚至老師勸他放棄他的研究領域，換成當時的一個活躍領域。但是，他對紐結理論的重要性很自信而沒有改變。他做對了。可是不可能每個人都能像他一樣幸運。即使你在自己感興趣的領域辛勤工作不懈努力，也可能難有重要進展。

因此，選取一個新領域或者當時還不活躍的數學領域來研究實際上也是一種冒險。但是，沒有這樣的挑戰，數學就不可能發展。最後，我想概括一下我的觀點，可供研究的好數學就是你本人最感興趣的那些數學，離開它們，你便無法繼續你的研究。

數學與人文第11輯：好的數學

作者：丘成桐 劉克峰 楊樂 季理真

定價：25元

現價：18.75元

出版社：高等教育出版社

出版日期：2013.10

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