現在的初中課本上并沒有射影定理,但是很多老師都會額外講一下,很多同學都有這樣一種感覺:當時明明記住結論了,但是過幾天就搞不清楚到底是誰的平方等于誰乘誰了,那怎樣才能準确地記住射影定理,再也忘不掉呢?其實隻需要一句口訣。
一、射影定理
如圖,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,則有如下結論:
①AC²=AD·AB
②BC²=BD·AB
③CD²=AD·BD
這三個結論就叫做射影定理。
二、助記口訣樹平方=影乘積
把AC看作樹,光線沿CD方向照射的影子是AD,光線沿CB方向照射的影子是AB;
把BC看作樹,光線沿CD方向照射的影子是BD,光線沿CA方向照射的影子是AB;
把CD看作樹,光線沿CA方向照射的影子是AD,光線沿CB方向照射的影子是BD.
三、證明三個結論都可以通過相似來證明,圖中的三個三角形都彼此相似,任意兩個相似三角形可得出一個結論,共3個結論。
證明:
①∵∠CDA=∠BCA=90°,∠A=∠A
∴△CAD∽△BAC
∴AC/AB=AD/AC
∴AC²=AD·AB.
②∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B
∴△BCD∽△BAC
∴BC/AB=BD/BC
∴BC²=BD·AB
③∵∠ACD ∠BCD=90°,∠CBD ∠BCD=90°
∴∠ACD=∠CBD,又∵∠CDA=∠BDC=90°
∴△CAD∽△BCD
∴CD/BD=AD/CD
∴CD²=AD·BD
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