九年級數學射影定理-tft每日頭條

九年級數學射影定理

教育更新时间:2024-12-29 19:42:51

現在的初中課本上并沒有射影定理，但是很多老師都會額外講一下，很多同學都有這樣一種感覺：當時明明記住結論了，但是過幾天就搞不清楚到底是誰的平方等于誰乘誰了，那怎樣才能準确地記住射影定理，再也忘不掉呢？其實隻需要一句口訣。

一、射影定理

九年級數學射影定理（射影定理結論巧記及證明）1

如圖，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，則有如下結論：

①AC²=AD·AB

②BC²=BD·AB

③CD²=AD·BD

這三個結論就叫做射影定理。

二、助記口訣

樹平方=影乘積

把AC看作樹，光線沿CD方向照射的影子是AD，光線沿CB方向照射的影子是AB；

把BC看作樹，光線沿CD方向照射的影子是BD，光線沿CA方向照射的影子是AB；

把CD看作樹，光線沿CA方向照射的影子是AD，光線沿CB方向照射的影子是BD.

三、證明

三個結論都可以通過相似來證明，圖中的三個三角形都彼此相似，任意兩個相似三角形可得出一個結論，共3個結論。

證明：

①∵∠CDA=∠BCA=90°，∠A=∠A

∴△CAD∽△BAC

∴AC/AB=AD/AC

∴AC²=AD·AB.

②∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B

∴△BCD∽△BAC

∴BC/AB=BD/BC

∴BC²=BD·AB

③∵∠ACD ∠BCD=90°，∠CBD ∠BCD=90°

∴∠ACD=∠CBD，又∵∠CDA=∠BDC=90°

∴△CAD∽△BCD

∴CD/BD=AD/CD

∴CD²=AD·BD

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