《平行垂直》中你不可忽略的知識點

一、知識梳理

1、平行線的定義：

在同一平面内不相交的兩條直線叫做平行線．

2、平行的表示：

用符号“∥”表示，讀作“平行于” ．

3、同一平面内兩條直線的位置關系：

平行或相交．

4、平行公理：

經過直線外一點，有且隻有一條直線與已知直線平行．

5、平行的傳遞性：

平行于同一直線的兩直線平行．

6、平行與角的

若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分别平行，則這兩個角相等或互補．

7、垂直定義：

如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那麼這兩條直線互相垂直．

其中一條直線叫做另一條直線的垂線．它們的交點叫做垂足．

兩條線段、射線垂直是指這兩條線段、射線所在的直線垂直．

8、垂直的表示：

用符号“⊥”表示，讀作“垂直于” ．

9、垂直公理：

過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直．

10、點到直線的距離：

直線外一點到這條直線的垂線段的長度．

11、垂線段的性質：

直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．

12、垂直與角的

若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分别垂直，則這兩個角相等或互補．

二、典型例題

例1、概念辨析

(1)兩條不相交的直線叫做平行線．

(2)兩條直線不相交就平行．

(3)兩條射線或線段平行，是指它們所在的直線平行．

(4)在同一平面内不相交的兩條線段必平行．

(5)經過一點，有且隻有一條直線與已知直線平行．

(6)同一平面内垂直于同一直線的兩條直線互相平行．

(7) 點A為直線l外一點，點B在直線l上，若AB＝5厘米，則點A到直線l的距離為5cm．

解析：

(1)錯誤，必須加同一平面内，否則在立體幾何中，會出現異面的情況．比如一個正方體，上面和前面相交的棱與右面和後面相交的棱，所在直線就是既不平行也不相交．

(2)錯誤，理由同(1)．

(3)正确．

(4)錯誤，反例如下圖：

(5)錯誤，必須在直線外，否則，如果這個點在直線上，所作直線就與已知直線重合．

(6)正确．

(7)錯誤，如下圖，當點B在B2處，點A到直線l的距離為5cm，當點B在B1，點A到直線l的距離小于5cm．

二、典型例題

例2、

試畫圖說明平面内三條直線的位置關系．

分析：

我們知道，同一平面内的兩條直線有相交、平行兩種關系．那麼到了三條直線，就會出現三條都平行，兩條平行，都不平行的情況．在三條都平行的情況外，必然有相交的情況，我們可以從交點數來考慮，即有一個，有兩個，有三個交點三種．

解答：

二、典型例題

例3、

(1)如圖，P是∠AOB外一點，過點P畫直線PC∥OA，交OB于點C，過點P畫直線PD∥OB，交OA反向延長線于點D，量出∠AOB、∠CPD的度數，你有什麼發現？

點P如果在∠AOB内部呢？

(2)如圖，P是∠AOB外一點，過點P畫直線PC⊥OA，交OA于點C，過點P畫直線PD⊥OB，交OB于點D，量出∠AOB、∠CPD的度數，你有什麼發現？

點P如果在∠AOB内部呢？

分析：

本題不難，主要是根據要求作圖，然後發現度數之間的聯系，不是相等就是互補，最後，再關注所研究的兩個角的位置關系，發現其中一個角的兩邊與另一個角的兩邊分别平行，從而得出最後結論．

解答：

(1)

當P是∠AOB外一點，∠AOB＋∠CPD＝180°

當P是∠AOB内一點，∠AOB＝∠CPD

發現：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分别平行，則這兩個角相等或互補．

(2)

當P是∠AOB外一點，∠AOB＝∠CPD

當P是∠AOB内一點，∠AOB＋∠CPD＝180°

發現：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分别垂直，則這兩個角相等或互補．

三、思維提升

例1、網格作圖

(1)利用圖(1)中的網格，利用直尺過P點畫直線AB的平行線和垂線．

(2)把圖(2)網格中的三條線段通過平移使三條線段AB、CD、EF首尾順次相接組成一個三角形．

(3)如果每個方格的邊長是單位1，那麼圖(2)中組成的三角形的面積等于______．

分析：

網格作圖是今後的重點内容，我們應該引起足夠的重視，

(1)對于作平行，有2種作法，第一種觀察線段AB是橫2豎4的長方形對角線，那麼，過要畫的點P，也應該是構造橫2豎4的長方形對角線．第二種，采用平移的方法，從點A平移到點P，需要向右4格再向下1格，那麼點B也要同樣平移，然後将線段兩端延長，變成直線．

對于作垂直，則和平行相反，過點P需要構造橫4豎2的長方形對角線．

(2)我們可以保持EF不動，将AB，CD平移，注意，有2種情況．

(3)對于網格圖形的面積，我們通常可以采用割補法，割，把大圖形分成幾個小圖形，計算面積和，補，把大圖形再補成一個更大的，可直接計算面積的圖形，減去周圍幾個小圖形的面積和．本題适合用補的方法．

解答：

三、思維提升

例2、垂線段再認識

如圖，在6×6的正方形網格中，點P是∠AOB的邊OB上的一點．過點P畫OB的垂線，交OA于點C；過點P畫OA的垂線，垂足為H；

(1)請找出圖中所有的垂線段，并說明這條垂線段的長度是哪個點到哪條直線的距離．

(2)線段PC、PH、OC這三條線段大小關系是______．（用“＜”号連接）

分析：

要找垂線段，首先要找出所有的垂足，因為垂線段是直線外一點到垂足的距離．這裡的垂足顯然隻有P，H，那麼點O，點C，可以和點P，點H組成垂線段．

要說明垂線段長度是哪個點到哪一條直線的距離，那麼必然選擇的是垂線段的兩個端點中，不是垂足的那個點，到垂足所在的另外一條與垂線段垂直的直線的距離．

解答：

(1)OP，OP的長度是點O到直線PC的距離．

CP，CP的長度是點C到直線OB的距離．

OH，OH的長度是點O到直線PH的距離．

CH，CH的長度是點C到直線PH的距離．

PH，PH的長度是點P到直線OC的距離．

(2)PH＜PC＜OC．

三、思維提升

例3、思考類作圖

同一平面内已知線段AB長為10cm，點A、B到直線l的距離分别為6cm和4cm，符合條件的直線l有_______條?

分析：

顯然，同學們都能想到作線段AB的垂線，将線段AB分成6cm，4cm兩部分．但其實，在線段AB的兩側還有兩條，分别以A、B為圓心、6cm和4cm為半徑作圓，當所畫的直線與兩個圓分别都隻有一個交點時，也符合題意，這樣的直線有兩條，即共有3條．

到了初三，我們會知道，這三條線就是所畫的兩個圓的切線．

解答：

如圖，三條紅色的直線即為所求．

變式

如圖，在平面内，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面内任意一點M，若p，q分别是點M到直線l1，l2的距離，則稱(p，q)為點M的“距離坐标”．根據上述規定，“距離坐标”是(2，1)的點共有________個．

分析：

我們可以先找線，再确定點，先找出到l1距離為2的直線，到12距離為1的直線，顯然，它們的交點，就滿足題意．

畫圖後，不難發現到l1距離為2的直線有2條，到12距離為1的直線有2條，這4條直線兩兩相交，有4個交點，這4個交點就是"距離坐标"是(2，1)的點．

解答：

如圖，到l1距離為2的直線是2條藍色直線，到12距離為1的直線是2條紅色直線，四個交點即為所求．

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