實心球和空心球的剖面圖-tft每日頭條

實心球和空心球的剖面圖

生活更新时间:2024-12-05 08:13:34

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）1

這個問題小編在2016年8月17号公衆号文章裡發表過，今天再進一步研究研究，和大家分享一下。

我們知道用一個不垂直于圓錐軸的平面去截圓錐面，改變平面的位置，我們可以得到不同的曲線。

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）2

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）3

對于這個問題分析，我之前有過介紹，可以借助于平面圖形來研究。

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）4

進而将相交直線拓廣為圓錐面，直線拓廣為平面。如果用一平面去截一個圓錐面，而且這個平面不通過圓錐的頂點，會出現哪些情況呢？如下圖：

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）5

進而得到結論：

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）6

接下來我們利用Dandelin雙球依次證明。

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）7

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）8

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）9

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）10

即橢圓的離心率等于截面和圓錐的軸的夾角的餘弦值與圓錐的母線和軸所成角的餘弦之比。

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）11

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）12

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）13

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）14

即抛物線的離心率等于截面和圓錐的軸的夾角的餘弦值與圓錐的母線和軸所成角的餘弦之比。

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）15

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）16

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）17

也可以借助于第二定義證明：

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）18

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）19

即雙曲線的離心率等于截面和圓錐的軸的夾角的餘弦值與圓錐的母線和軸所成角的餘弦之比。

綜上，我們得到統一結論：

截得的圓錐曲線的離心率等于截面和圓錐軸的夾角的餘弦與圓錐頂角一半的餘弦之比。

我們接着看一道題：

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）20

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）21

當點光源引發的一束光線向一隻球投射時，光線經球後被遮擋住的空間區域是一個圓錐，此時，便可以把地面看作一個平面與圓錐面的截面。于是，這就轉化為上面的截面截圓錐面問題。

實心球和空心球的剖面圖（平面與圓錐面的截面）22

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