#頭條創作挑戰賽#

實數完備性有六大基本定理，它們是互相等價的。這六個基本定理分别是，确定原理，單調有界定理，區間套定理，有限覆蓋定理，聚點定理，以及柯西收斂準則，全部都在《老黃學高數》系列視頻中介紹過了。剩下的就隻是證明它們等價的工作了。

在《老黃學高數》第73講中，老黃用确界原理證明了單調有界定理；《老黃學高數》第213講中，又用單調有界定理，證明了區間套定理；然後在218講中，用區間套定理證明了聚點定理，順序有點跳躍了；不過第221講中，老黃又用區間套定理證明了有限覆蓋定理；第219講，用聚點定理的推論證明了柯西收斂準則，雖然用的是推論，而且隻證明了充分性，不過也算完成了由聚點定理到柯西收斂準則的推導了；第215講中，還用區間套定理證明了柯西收斂準則。

這篇文章，老黃先用柯西收斂準則證明确界原理。下一篇作品，老黃再用有限覆蓋定理證明聚點定理。這樣就完成了一個循環的證明，從而證明了六個基本定理是互為等價的。

你還記得數集的确界原理嗎？

數集的确界原理就是：數集有界就必有确界。簡單說成“有界必有确界”。有界是條件，有确界是結論。

接下來，用數列的柯西收斂準則證明确界原理.

證：設S為非空有上界數集. 由實數的阿基米德性，對任何正數a，存在整數ka，使得λa=ka*a為S的上界，【即對任何兩個實數，一個是任取的正數a，另一個沒說，是靠想像出來的，它是S的一個足夠小的上界也可以，是S中一個足夠大的元素也可以。那麼就一定存在一個整數ka，使得ka和a的積，成為S的上界。即，使得ka和a的積大于S的一個足夠小的上界，所以這個積就成了S的上界，又或者大于S中任何元素，這個積也會成為S的上界。】

而λa-a=(ka-1)a不是S的上界，即存在a’∈S，使得a’>(ka-1)a.【這個ka是一個恰如其分的整數，小一個整數單位，得到的數就不是S的上界了。阿基米德他老人家早在兩千多年前，就告訴我們，這是可以做得到的啦，所以你也不需要疑惑，能夠想得明白最好。不是上界，就說明S中有一個元素a'，比它大。有了這麼一個規律，我們就可以充分地把它利用起來】

分别取a=1/n, n=1,2,…，則對每一個n，存在相應的λn，

使得λn為S的上界，而λn- 1/n不是S的上界，故存在a’∈S，使得a’>λn- 1/n.

又對正整數m，λm是S的上界，【折磨完n，再折磨m，反正哥倆都是正整數，所以n對應的有λn， m就有λm，它也是S的上界】

故有λm≥a’，∴λm>λn- 1/n, 即λn-λm< 1/n,

同理有λm-λn<1/m,【同樣的道理，上面的戲路重複一遍，換m做主角,n做配角就可以了】

∴|λm-λn|<max{1/n, 1/m}.

于是，∀ε>0, ∃N>1/ε ，使得當m,n>N時，有|λm-λn|<ε.

由柯西收斂準則，數列{λn}收斂，記lim( n→∞)λn=λ.

∵對任何a∈S和正整數n, 有a≤λn, ∴a≤λ, 即λ是S的一個上界.【對S内的任何元素a，和任意的正整數n，因為λn的每一個元素都是S的上界，所以不小于a，由極限的保不等式性就可以知道，極限λ不小于常數列a的極限a，如果這是λ的解集，λ就是S的上确界，可惜它不是，而隻表示λ和a的大小關系而已，所以現在λ也隻證明是S的一個上界而已，下面證明它就是上确界】

對任何δ>0，由1/n →0(n→∞)知，【這裡用正數δ代替常用的ε】

對充分大的n同時有1/n<δ/2, λn>λn- δ/2,

又λn- 1/n不是S的上界，∴存在a’∈S，使得a’>λn- 1/n ，即有a’>λn- δ/2- δ/2=λ-δ.

∴λ為S的上确界. 【上确界的定義一定要好好理解，通常點說，上确界是上界的最小值，隻要再稍微小那麼一點點，不管這一點有多小，得到的數都不再是數集的上界，那麼這個上界就是數集的上确界】

同理, 若S非空有下界，則必存在下确界.

綜合起來，就是“有界則必有确界”的确界原理了。好難！是吧？難就多看幾遍，好好思考，就會懂了。數學越抽象難理解的問題，其實本質上是越簡單的。

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