一般地，若整數b除以非零整數a，商為整數，且餘數為零， 我們就說b能被a整除（或說a能整除b），

記為：a|b（"|"是整除符号），讀作"a整除b"或"b能被a整除"

一、我們先看幾個基本的性質

1、 若a|b，a|c，則a| (b±c)

• 運用除法與分數的關系解釋

• 通俗地講，如果兩個數能被同一個數整除，那麼它們的和、差也能被這個數整除（積當然也可以）

2、 若a|b，b|c，則a|c

• 通俗地講就是一個數倍數的倍數是它的倍數。

3、 若a|bc，且(a,c)= 1，則a|b

4、 a|b，c|b，且a、c互質（a,c）=1，則bc|a

這個性質可以推廣到多個兩兩互質的數的情況，非常有用；

例：2、3、5兩兩互質，如果一個數m能同時被這三個數整除，那麼m能被30整除；

二、結合位值原理常見數的整除特征歸納說明

1、個位上是0、2、4、6、8的整數都能被2整除。

2、 個位上是0或者5的整數都能被5整除(方法同上)。

3、 若一個整數各位數字之和能被3（或9）整除，則這個整數能被3（或9）整除。（3與9判斷方法一樣）

請注意：從這裡我們也可以得出一個整數除以9的餘數等于它各數字之和除以9的餘數。

4、 若一個整數末兩位數能被4(或25)整除，則這個數能被4(或25)整除。（方法同2，找整百）；

5、若一個整數末三位數能被8(或125)整除，則這個數能被8(或125)整除。（方法同2，找整千）；

6、 若一個整數末四位數能被16(或625)整除，則這個數能被16(或625)整除。（方法同2，找整萬）；

7、 一個三位以上的整數能否被7（或11、13）整除，從右往左三位斷開，奇數段與偶數段分别相加再作差（以大減小）能否被7（或11、13）整除 ，（右往左－三位斷－奇偶分組－求和－再作差）；

8、 一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差（大-小）如果是11的倍數,那麼這個整數也是11的倍數(比上面方法簡單一點點)；

9、判斷一個整數能否被99、999、9999....整除，可以“從右往左”按照兩位、三位、四位斷開再求和。

• 其實所有關于“9”的整除原理都一樣

10、若一個質數能整除兩個自然數的乘積，那麼這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個；

11、 特别地：1與0的特性

1是任何整數的因數，即對于任何整數a，總有1|a.

0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0.

三、關鍵

數的整除概念、性質及特征為我們解決一些實際問題帶來了很大方便，應用廣泛。需要在理解其來源的基礎上掌握。

我們可以用上面的性質去判斷能否被給定的數整除，反過來也可以用相關的性質去解決問題，比如結合平方數我們以前提到過的"n² 2"一定不是5的倍數。

四、經典例題

[例1]已知七位數" 1287xy6" 是72的倍數，求出所有符合條件的七位數（江蘇競賽題）

[思路導航]

因為72＝8*9(8、9互質)

所以隻需滿足七位數能同時被8、9整除即可

如果先從8入手是考慮三位情況較多，所以從9入手

例2、已知a、b是正整（a>b）對于如下兩個結論：①在a b、ab、a-b這三個數中必有2的倍數，②a b、ab、a-b必有三的倍數，其中正确的是（ ）

A 都正确 ，B 都不正确；

C隻有①正确 ， D 隻有②正确；

[思路導航]因為數字不确定，但可以結合奇偶性及餘數的情況進行"分類讨論"得出結果，注意利用倍數與因數的關系。

[例3]如果把1－1997這1997個自然數依次寫下來，我們可以得一個多位數12345678910111213…1994199519961997，試求這個多位數除以9的餘數。

[思路導航]

根據前面推導能被9整除的數的特征我們知道：

"一個自然數除以9的餘數，等于這個自然數各個數位上數字和除以9的餘數"

所以求這個多位數除以9的餘數問題，可以先轉化為求1至1997這1997個自然數中所有數字之和是多少，然後就很好解決了

方法一：因為1至9這9個數字之和為45

所以10至19，20至29……90至99

這十個組的各位數位上的數字和分别為：

45 10，45 20……45 90。

所以：1至99這99個自然數各位數字之和為：

45 55 65 … 125 135=900

同理可得

1至999這999個自然數各位上數字之和為：

900 1000 … 1700 1800=13500

同理可得

1000至1999這1000個自然數各數位上的數字和為

13500 1000=14500

則1至1999這1999個自然數各數位的數字和為：

13500 14500=28000。

1998、1999這兩個數各數位上的數字和為：27、28。

28000－27－28=27945，

9能整除27945

所以多位數除以9餘0

方法二：

将1至1996這1996個自然數配成如下的998組：

（1，1996），（2，1995），……

每組兩數之和為1997

998組所有數字之和等于：

（1 9 9 7）×998=25948

25948 1997＝27945

所以多位數除以9餘0

方法三：根據整特性

由任意連續9個自然數所組成的多位數，

一定能被9整除；

而從1至1997一共有1997個數；

從1開始按9個一組分；

1997÷9=221(組)……8(個)；

1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997；

我們看這8個數所有數位上的數字和為：

19 20 21 22 23 24 25 26=180；

180能被9整除，所以多位數除以9餘0。

（因為任意連續的9個自然數的各數位上的數字和除以9的餘數，必定是0，1，2…，7，8這9個數，而這9個數的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個連續自然數組成的多位數一定能被9整除。）

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