函數的兩域——定義域和值域,三性——單調性、奇偶性和對稱周期性是高考考查的重點。下面将圖像中有關的規律歸納如下。掌握這些規律可快速解答高考中的圖像類試題。
1.函數的單調性
函數的單調性是函數在定義域上的局部性質.
②求函數單調區間(确定函數的單調性)的方法:
i.利用已知函數的單調性,即轉化為已知函數的和、差或複合函數,求單調區間.
ii.定義法:先求定義域,再利用單調性定義.
iii.圖像法:如果f(x)是以圖像形式給出的,或者f(x)的圖象易做出,可由圖象的直觀性寫出它的單調區間.
iv.導數法:利用導數取值的正負确定函數的單調性.
v.求複合函數的單調區間的一般步驟是:首先确定函數的定義域,然後求簡單函數的單調區間,三是求複合函數的單調區間,依據是“同增異減”.
2.函數的奇偶性
奇偶性是函數在定義域上的整體性質.
①偶函數的圖像關于y軸對稱,在關于坐标原點對稱的區間上具有相反的單詞性:
②奇函數的圖像關于坐标原點對稱,在關于坐标原點對稱的區間上具有相同的單調性;
③若f(x)為奇函數且0在其定義域内則有f(0)=0;
④若f(x)為偶函數,則f(x)=f(|x|).
⑤判斷函數奇偶性的方法:
i.定義法:若函數f(x)的定義域不是關于原點對稱的區間,則f(x)是非奇非偶函數;若函數f(x)的定義域是關于原點對稱的區間,再判斷f(-x)是否等于±f(x).
ii.圖象法:奇(偶)函數充要條件是它的圖象關于原點(或y軸)對稱.
iii.性質法:偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數;奇函數的和、差仍為奇函數;奇(偶)數個奇函數積、商(分母不為零)為奇(偶)函數;一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數.(利用上述結論時要注意各函數的定義域)
3.函數對稱性中幾個常用結論
i.y=f(x)與y=f^(-1)(x)的圖象關于y=x對稱;
ii.y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于x=a軸對稱;
iii.y=f(x)與y=2b-f(x)的圖象關于y=b軸對稱;
iv.y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于點(a,b)對稱;
4.函數圖象的識辯方法
①從函數的定義域,判斷圖像的左右位置;從函數的值域,判斷圖像的上下位置:
②從函數的單調性,判斷圖像的變化趨勢;
③從函數的奇偶性,判斷圖像的對稱性;
④從函數的周期性,判斷圖像的循環往複;
⑤從函數的特征點,排除不合要求的圖像;
⑥從實際情景探究函數圖像,關鍵是将問題轉化為熟悉的數學問題求解,要注意實際問題中的定義域問題.
經典例題:[2018全國卷]
函數
的圖像大緻為( )
解題思路:先根據奇偶性排除一個選項,再根據特殊值法排除另外兩個選項,最後剩餘的一個即為正确選項。
解析:因為y=e^x-e^(-x)是奇函數,y=x^2是偶函數,由奇偶函數的運算規律奇/偶=奇,知f(x)是奇函數,圖像關于原點對稱,排除A選項.
當x=1時,f(x)=e-1/e>0,排除D選項.又e>2,∴1/e<1/2,∴e-1/e>1,排除C選項.故選B.
答案:B
總結:在判斷複雜函數的圖象時,可根據函數的定義域,值域和單調性、奇偶性,結合特殊法,利用排除法快速解題.
經典例題:[2018全國卷]
函數y=-x^4 x^2 2的圖像大緻為
思路分析:令x依次取特殊值比較函數值的正負和大小,結合排除法快速解題.
解析:令x=1時,y=2,所以排除A,B選項.當x=0時,y=2,而當x=1/2時,y=-1/16 1/4 2=35/16>2,所以排除C選項.故選D.
答案:D
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