平行四邊形的判定方法比較多,學生在學習和應用時易混淆,該如何學習呢?學生學習時應掌握以下幾方面。
一、熟記平行四邊形的判定方法。
平行四邊形的判定方法有以下五種,記的時候按邊、角、對角線三方面分開去記。
1、邊:
①兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形
②兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
2、角:
兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形。
3、對角線:
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
二、平行四邊形判定的應用技巧。
1、若一組對邊相等,考慮證明這組對邊平行或另一組對邊相等。
例1、如圖,在▱ABCD中,點E,F分别在BC,AD上,且AF=CE,求證:四邊形AECF是平行四邊形。
分析:四邊形AECF中已有一對邊AF=CE,可證AF//CE即可。
證明:在▱ABCD中,AD//BC
又∵點E,F分别在AD,BC上
∴AF//CE,又∵AF=CE
∴四邊形AECF是平行四邊形。
2、若一組對邊平行,考慮證明這一組對邊相等或另一組對邊平行。
例1、如圖,平行四邊形ABCD中,點E是邊AD的中點,連接CE并延長交BA的延長線于點F,連接AC,DF,求證:四邊形ACDF是平行四邊形
分析:由題意可得AF//CD,所以隻需證AF=CD即可。
證明:∵ABCD為平行四邊形
∴AB//CD,又∵點F在BA的延長線上。
∴AF//CD
∴∠AFE=∠DCE
又∵點E是AD的中點
∴AE=DE
又∵∠AEF=∠DEC
∴△AFE≌△DCE
∴AF=CD又∵AF//CD
∴四邊形ACDF為平行四邊形。
例2、如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,
∠ABC=70°,BE平分∠ABC且交AD于點E,
DF//BE,且交BC于點F,求∠1的大小。
分析:可先證EBFD為平行四邊形,再根據角之間的關系求∠1。已知DF//BE,由題意可得DE//BF,即可求解。
解:∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴∠ABC=∠ADC=70°,AD//BC
又∵點E在AD上,點F在BC上
∴DE//BF,又∵DF//BE
∴四邊形BFDE為平行四邊形。
∴∠EBF=∠EDF=1/2∠ABC=70°÷2=35°
∴∠1=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°
3、若一組對角相等,考慮證明另一組對角也相等。
例1、如圖在平行四邊形BCD中,AE,CF分别是∠BAD與∠BCD的角平分線,求證:AFCE是平行四邊形。
證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴∠B=∠D,∠BAD=∠BCD
又∵AE,CF分别是∠BAD與∠BCD的角平分線
∴∠BAE=∠EAF=1/2∠BAD,
∠DCF=∠ECF=1/2∠BCD
∴∠EAF=∠ECF,∠BAE=∠DCF
∵∠AFC=∠D ∠DCF
∠AEC=∠B ∠BAE
∴∠AFC=∠AEC,又∠EAF=∠ECF
∴AFCE是平行四邊形。
4、若圖中有對角線,常利用對角線互相平分來證明。
例1、如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,E是BC的中點,直線AE交DC的延長線于點F,求證:四邊形ABFC為平行四邊形。
分析:圖中有四邊形ABFC的對角線AF,BC,由題意可知CE=BE,隻需證AE=FE即可,可利用全等三角形證明線段相等。
證明:∵AB//CD,F為DC延長線上一點
∴∠CFE=∠EAB,
又∵E是BC中點
∴CE=BE,又∵∠CEF=∠BEA
∴△CFE≌△BAE
∴AE=FE,又∵BE=CE
∴四邊形ABFC為平行四邊形。
總之,在判定四邊形為平行四邊形時,一定要結合圖形,看清題中的已知條件是與邊、角、對角線三個條件中的哪一個有關系,一般與誰有關聯,就用哪一種判定方法。
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