如下圖所示，O為△ABC的内心，即△三内角平分線的交點，

作者寄語：

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S△ABC=S△AOB S△BOC S△AOC=1/2（a b c）r;

當△ABC為直角三角形時，可得：2ab=（a b-c）r；

則r=2ab/（a b-c）

或者，也可以這樣表示：

c=（a-r） （b-r），得r=（a b-c）/2；

【大顯身手】

已知OA=3，OB=4，AM、OM分别為△AOB的角平分線，AB=5，求點M的坐标。

三角形的旁切圓的半徑

三角形有3個旁切圓，則要分三種情況來談論三角形旁切圓的半徑。

第1種情況：

如下圖所示，通過面積的等差法處理，可以得到：

S△ABC=S△ABO S△ACO-S△BOC

=1/2cr 1/2br—1/2ar=1/2r（b c-a）；

則 r=2S△ABC/（b c-a）；

第2種情況：

如下圖所示，通過面積的等差法處理，可以得到：

S△ABC=S△OBC S△OAC-S△OAB

=1/2ar 1/2br—1/2cr=1/2r（b a-c）；

則 r=2S△ABC/（b a-c）；

第3種情況：

如下圖所示，通過面積的等差法處理，可以得到：

S△ABC=S△ABO S△BCO-S△OAC

=1/2cr 1/2ar—1/2br=1/2r（c a-b）；

則 r=2S△ABC/（c a-b）；

【溫馨提示】以上推理過程隻是為了告訴大家，當△ABC為RT三角形的時候，是可以通過面積法直接計算旁切圓的半徑的。

【基礎知識拓展】已知△ABC三邊分别為a，b，c，

（1）設BD=x，AC=b=（c-x） （a-x），得x=(a c-b)/2；

（2）設AD=y，BC=a=（c-y） （b-y），得y=(b c-a)/2；

（3）設CE=z，AB=c=（a-z） （b-z），得z=(a b-c)/2；

（4）如下圖所示，當△ABC為RT△，則r=（a c-b）/2；

【練練基礎】

在△ABC中，CD⊥AB，O1、O2分别為△ACD和△BCD的内心，AD=6，CD=8，BD=15，則O1O2=？

【濤哥圖解】

利用基本圖，很快可以求出R1=2，R2=3；

接下來，求O1O2的長度，處理方法很多，介紹2種。

方法1：構建RT△O1O2G，圖中标注的很清晰，看圖就明白了。

方法2：利用内心等同于三角形内角平分線的交點，O1D平分∠ADC，O2D平分∠CDB，則∠O1DO2=90°，O1D=√2R1=2√2，同理，O2D=3√2，利用勾股定理求O1O2即可。

方法3：解析幾何 建立坐标系

根據公式，可以求得O1和O2坐标，再利用坐标系内任意兩點之間的距離公式即可求得O1O2的長度。

附上一道課後習題改編的經典題：

如圖，邊長為a的正三角形ABC内有一邊長為b的正△DEF，且a—b=2，求△AEF的内切圓的半徑。

第1步：如下圖所示，可通過全等證得一些線段相等。

關鍵一步轉化：a=AE AF，則a—b=AE AF—EF；

此時，結合三角形内切圓的相關計算，可得2AG=AE AF—EF=2，

得AG=1，

此時，解一下RT△AGO即可得△AEF的内切圓的半徑了！

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