1. 基本問題說明

一般地，已知某函數模型，分析、判定其單調性；反過來，根據得到的函數單調性，轉化為相關代數關系(等式或不等式)，以求解待求問題，如最值、值域、參數值範圍等。

這是一類很常見的基礎應用，既可以單獨作為選擇題或填空題，也可以廣泛地綜合到求解析式、值域或最值問題、恒成立問題、存在性問題、參數問題、解不等式等題型中。

2. 解決問題的一般方法

1) 單調性判定

① 直接法

多見于簡單的常見初等函數相關題型，直接根據性質或圖像特征進行判定；

② 定義法

第一定義(即課本的定義)：“設值、作差、定号”，這是未學導數前一般方法；

第二定義：設函數f(x)的定義域為D，在定義域内任取x1、x2，且x1≠x2，若(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>0，則函數單調遞增；若有(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)<0，則函數單調遞減。

③ 導數法(先知道有這麼一個非常好用方法，等學過選修2-2的導數部分後再回來融會貫通)

“求導數、求零點、（按需分段）判單調” ，這是學過導數後的一般方法。

導數與函數單調性密切相關。它是研究函數的另一種方法，為其開辟了許多新途徑。特别是對于具體函數，利用導數求解函數單調性，思路清晰，步驟明确，既快捷又易于掌握；利用導數求解函數單調性，要求熟練掌握基本求導公式。

思考：對比導數法的定義與判定單調性的定義法，試分析二者之間的區别與聯系。

對于複合函數，可以先分别判斷每一級函數的單調性，然後再分析、判斷把它們複合在一起後的單調性，如兩級函數複合在一起的單調性一般可利用“同增異減”性質來判定（單調區間的定義域要一緻）。

2) 單調性逆用

根據已知的或構造的函數的單調性，轉化得到所需代數關系如等式、不等式等後，即可求解待求問題，如最值、值域、參數值範圍等。其求解過程的要領有：

① 按需多畫圖，有助于分析、思考和減少失誤；

② 不要忘了分析或考慮單調區間的非極值點端點。

3.典型示例

例1 證明函數f(x) = 3x 2在R上是增函數。

證明：設x1,x2是R上任意實數，且x1<x2即x1-x2<0，(提示：設值)

則f(x1)-f(x2)=3x1 2 – 3x2-2 (提示：作差)

=3(x1-x2)<0 (提示：定号)

所以函數f(x) = 3x 2在R上是增函數。

講解：

① 判定單調性一般方法（必須記住 – “設值、作差、定号”）

依次為：設值 -> 作差 -> 判定符号 –> 得出結論（增、減或不定）。

② 判定符号時，若無法直接得出結果，可通過分析法或分類讨論來判定符号性質。

例2 求出函數f(x)=1/x的單調區間。

解：（直接法）由反比例函數性質可知，

f(x)單調區間為(-∞,0)、(0, ∞)，且都為單調遞減區間。

講解：

① 思考：函數f(x)=1/x是減函數嗎？不是，比如-1<1但f(-1)<f(1)。這是一個易錯點！如圖， 一目了然。

② 當有多個單調區間時，需檢查和分析相鄰單調區間的邊界處是否滿足單調遞增或遞減，若滿足，則單調區間可“并”在一起；否則隻能“和”在一起。

例3 判斷f(x)=2x^3 3x^2-12x 1的單調性，并求出單調區間。

解：（高次函數一般用導數法）

因為f(x)= 2x^3 3x^2-12x 1，

所以f'(x)=6x^2 6x-12

當f'(x)>0時，即x>1或x<-2時，

函數為f(x)為單調遞增；

當f'(x)<0，即-2<x<1時，

函數f(x)為單調遞減。

如圖：

例4 求函數y=（4x 3）/(x^2 1)的值域。

解：（單調性在求值域中應用）依題意，

講解：

① 單調性基礎應用廣泛地出現在求解析式、值域或最值問題、恒成立問題、存在性問題、參數問題、解不等式等題型中，這裡就不再一一舉例了，詳見有關題型的典型例題。大家隻需記住，這類問題中，單調性一般是主要的、便捷的解題方法之一。

② 提示：本題的函數在±∞出無限趨近于0,所以在兩個極值點處分别取得最大值和最小值，如圖。

但是，有時端點處的值可能比極大值大或比極小值小。所以，求最值時不要忘了把非極值點端點考慮進來！

例5 已知函數f(x)=4x^2-kx-8在區間[5，20]上有單調性，求參數k的取值範圍。

解：（單調性的逆用）依題意，

因為f(x)=4x^2-kx-8的對稱軸為x=k/8，

開口向上，所以在對稱軸右邊遞增，左邊遞減；

又因為函數f(x)=4x^2-kx-8在區間[5，20]上有單調性，

所以k/8 ≥ 20 或k/8 ≤ 5,

解得：k≥160或k≤40

所以所求參數k的取值範圍是： k≤40或k≥160。

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