單擺是高中物理選修3-4中第一章機械振動第二節内容。我們知道，當擺角小于時，單擺的振動是簡諧運動。根據實驗探究發現單擺做簡諧運動的周期與振幅、擺球的質量無關，隻與擺長和重力加速度有關，單擺周期公式為。

在解決實際振動問題中，常常涉及類單擺振動問題，以及單擺在不同環境中振動問題。對這些問題的解決就需要弄清楚兩個問題，第一個問題是決定單擺振動快慢的實質是什麼？第二個問題是單擺的周期公式是在什麼條件下探究得到的？

如圖1所示是單擺的理想模型。

圖1

單擺在振動過程中同時又在做圓弧運動，擺球受重力和繩子的拉力。繩子的拉力和重力沿繩方向的分力的合力提供擺球做圓弧運動的向心力，其隻改變擺球運動速度的方向。而重力沿圓弧切線方向的分力提供擺球做簡諧運動的回複力，其隻改變擺球運動速度大小，也就決定了擺球振動快慢。因此，回複力是改變擺球振動快慢的原因，是判斷單擺振動周期是否變化的依據。

在實驗室（慣性參考系）中，擺球隻受重力和繩子的拉力情景下，通過實驗探究，得到單擺做簡諧運動的周期公式。如果單擺所處的環境變了、擺球所受力變了，其振動的周期将會怎樣變化呢？我們可通過與單擺的理想模型對比分析，找到正确的結果。

下面舉幾個典型的情景分析。

情景1：類單擺問題。

如圖2所示，小球在一圓弧曲面上振動。

圖2

小球振動過程中，其受重力和圓弧面的支持力，而且該支持力方向始終指向圓心。與單擺的理想模型對比，圓弧面對小球的支持力相當于單擺中繩子對擺球的拉力，小球振動的回複力也是重力沿圓弧切線方向的分力提供，因此其振動周期為。

例1：如圖3所示，光滑軌道的半徑為2 m，C點為圓心正下方的點，A、B兩點與C點相距分别為6 cm與2 cm，a、b兩小球分别從A、B兩點由靜止同時放開，則兩小球相碰的位置是(　　)

圖3

A.C點

B. C點右側

C.C點左側

D.不能确定

答案:　A

解析: 由于光滑軌道的半徑遠遠大于運動的弧長，小球都做簡諧運動，類似于單擺.因此周期隻與半徑有關，與運動的弧長無關，兩球都經四分之一周期同時到達C點相碰，故選項A正确.

情景2：單擺在磁場中的振動。

如圖4所示，一擺球帶正電的單擺在垂直于勻強磁場的豎直平面内振動。

圖4

擺球振動過程中，其受重力、繩子的拉力和磁場的洛倫茲力，洛侖茲力方向始終沿繩子方向。與單擺的理想模型對比，擺球振動的回複力仍然是重力沿沿圓弧切線方向的分力提供，而洛侖茲力隻影響繩子拉力大小的變化，因此其振動周期仍為。

例2：如圖5所示，用絕緣細絲線懸吊着的帶正電小球在勻強磁場中做簡諧運動，則（ ）

圖5

A. 當小球每次通過平衡位置時，速度相同

B. 當小球每次通過平衡位置時，動能相同

C. 當小球每次通過平衡位置時，絲線拉力相同

D. 撤去磁場後，小球擺動周期變大

答案：B

解析：帶正電小球所受洛侖茲力和拉力不做功，隻有重力做功，系統機械能守恒。過平衡位置時，小球的動能相同，其速度大小相等，但方向不一定相同，因此，B正确，A錯誤；小球過平衡位置時，運動方向不同時，其所受洛侖茲力方向也不同，絲線拉力不同，因此，C錯誤；小球所受洛侖茲力不提供回複力，撤去磁場後，其振動的回複力不變，振動周期不變，因此，D錯誤。

情景3：單擺在電場中的振動。

如圖6所示，一擺球帶正電荷的單擺在豎直下的勻強電場中振動。

圖6

擺球振動過程中，其受重力、繩子的拉力和電場的電場力，電場力方向始終豎直向下。與單擺的理想模型對比，單擺振動的回複力是由重力和電場力沿圓弧切線的分力的合力提供，擺球振動變快了，因此，該單擺振動周期不能再用直接計算了。但重力和電場力合力是方向始終豎直向下的恒力，相當于單擺理想模型中的重力作用，我們稱之為等效重力，用等效重力除以擺球質量得等效重力加速度，因此，該單擺的周期可用來計算。

例3：如圖7所示，用長為L的絕緣細絲線懸吊着的帶電量為 q的小球m，在豎直向下的勻強電場E中做簡諧運動，則（ ）

圖7

A. 當小球每次通過平衡位置時，絲線的拉力不同

B. 小球做簡諧運動的周期為

C. 小球做簡諧運動的周期為

D. 撤去電場後，小球擺動周期變大

答案：CD

解析：帶正電小球在電場中運動時，隻有重力和電場力做功，根據動能定理可知，小球每次過平衡位置時速度大小相同。在平衡位置時絲線拉力相同，A錯誤。小球做簡諧運動時，等效重力加速度為，單擺周期為，因此，B錯誤，C正确；當撤去電了場後，隻有重力沿圓弧切線的分力提供回複力，即單擺振動的回複力減小，振動變慢，振動周期變大，因此，D正确。

情景4: 單擺在加速運行的電梯内的振動。

如圖8所示，在加速向上運動的電梯中，一個懸挂在電梯頂部的單擺在豎直平面内振動。

圖8

擺球在振動過程，其受重力和繩子拉力。與單擺的理想模型對比，該單擺不是在慣性參考系中振動的，其振動周期不能再用直接計算了。根據廣義相對性原理和等效原理，“一個不受引力作用的加速度系統跟一個受引力作用的慣性系統是等效的”。我們可以把以加速度a向上加速運動的電梯等效為一個重力加速度為的慣性參考系來分析。因此，該單擺的周期可用來計算。

例4：如圖9所示，一電梯以加速度a豎直向上運動，其頂部懸挂一擺長為L的單擺在豎直平面内做簡諧振動。則（ ）

圖9

A. 小球做簡諧運動的周期為

B. 小球做簡諧運動的周期為

C. 小球做簡諧運動的周期為

D. 當電梯停止運動時，單擺的周期要變大。

答案：BD

解析：以加速度a向上加速運動的電梯不是慣性參考系，不能用單擺周期公式直接求周期，因此，A錯誤；可把加速的電梯等效為一個慣性參考系時，其内的重力加速度為，所以，，因此，B正确 ；當電梯停止運動時，單擺振動周期為 ，可見，其振動周期變大，因此，D正确。

訓練園地：

1.如圖10所示，擺長為l的單擺放在傾角為θ的光滑固定斜面上，則擺球在斜面所在的平面内做小擺角振動時的周期為(　　)

圖10

A.

B.

C.

D.以上答案都不對

答案　C

2.如圖11所示，帶電小球A固定，再其下用長為L的絕緣絲線懸挂一個帶電小球B，當小球B做簡諧運動時，則（ ）

圖11

A. 小球做簡諧運動的周期等于

B. 小球做簡諧運動的周期大于

C. 小球做簡諧運動的周期小于

D. 不知道小球帶電量大小，沒法确定小球振動周期。

答案：A

3. 如圖12所示，用長為L的絕緣細絲線懸吊着的帶電量為 q的小球m，在豎水平向右的勻強電場E中做簡諧運動，則（ ）

圖12

A. 當小球速度最大時，絲線與豎直方向夾角

B. 當小球速度最大時，絲線拉力大小為

C. 小球做簡諧運動的周期為

D. 撤去電場後，小球擺動周期變大

答案：ACD

4. 如圖13所示，在沿傾角的光滑斜面下滑的小車上，用長為L的細線懸吊 一個小球m，當小球在豎直平面内做小角度振動時，則（ ）

圖13

A. 小球做簡諧運動的周期為

B. 小球做簡諧運動的周期為

C. 當小球速度最大時，細線與豎直方向夾角

D. 當小車停在斜面上時，小球做小角度振動的周期變大

答案：BC

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