任取平面中兩個不共線的向量a、b，那麼平面中所有的向量均可用a和b表示，下面我們就來證明這個定理。
由于向量在平面中可以任意平移，那麼我們可以将向量a、b的起始點平移至同一點，即兩個向量都是從點A出發的，從點A出發任意方向作一個向量c，從c的終點處分别作向量a、b的平行線，形成一個平行四邊形，那麼由向量相加的平行四邊形法則可知，向量c可以表示成分别與a、b共線的兩個向量之和。
這個定理叫做平面向量基本定理，定理成立的前提是，a、b均非零且不共線。
向量坐标表示的原理垂直的兩個向量必然不共線，如果我們取平面直角坐标系中分别與x軸和y軸共線的單位向量m、n，那麼根據上述定理，平面中任意一個向量c均可表示成
可用實數對(x,y)來表示向量c，這就是可以用坐标表示向量的原理。
定理的推廣三維空間坐标系以及更高維度的坐标系中，也有類似的結論，即N維坐标系中的任意向量可用N個互不共線的一組向量表示。這其中的證明思想是類似的。
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