在數學王國中，有5個數非常重要，它們所包含的内容和所承擔的作用，遠遠超過了數值的本身，因而比一般數字顯得更為神秘，這5個數就是0、1、π、i和e。

像π一樣， e也是一個無理數。它的數值是e=2.718281828459…無限而不循環。

在一開始，它偶然出現在計算結果裡，但随着科學的發展，人們逐漸發現e的用處很多，特别是如果以它為“底”取自然對數時，可以使很多的算式得到簡化，到了後來，它的應用就更加廣泛了。可以說，e包羅萬象！

真正把e引入到數學研究中來的是瑞士數學家雅各·伯努利。

雅各·伯努利

1654年12月27日（這是出生時的舊曆，如果按新曆算應為1655年1月6日）雅各布·伯努利出生于瑞士巴塞爾的一個商人家庭。

在科學史上，伯努利這個家族可真稱得上是學者雲集。祖孫三代中，出了8位世界級的著名數學家。在這8人中，還兼有物理學家、天文學家和地理學家。

他們的成果包括：無限級數計算、微積分和微分方程運算的開創者，統計學概率論的開拓者、“大數定律”的創建者，在無限不确定性抉擇難題中，那個令人頭疼的“聖·彼得堡悖論”的提出者、流體力學“伯努利定理”的創建者，曲線研究的著名學者等。

自青少年起，雅各就對數學和天文學産生了濃厚的興趣。1676—1682年這6年間，為學習當時最先進的數學和科學，他遊學于整個歐洲，先後跟随羅伯特·波義耳和羅伯特·胡克、克裡斯蒂安·惠更斯、笛卡爾等多位大師從學，精讀了弗蘭斯·萬·叔本華、伊薩克·巴羅和約翰·瓦利斯的論文和著作。

1687年，雅各擔任巴塞爾大學的數學教授，以後終生工作在這裡。1685年，雅各出版了邏輯學和概率學的書，1687年，又出版了一本幾何學，在這部書中，他證明了任意三角形可以被兩個彼此垂直的線分割成面積相等的4塊。1682年和1704年，雅各共發表了5篇關于無限數列研究的論文，1689年又發表了最重要的無限級數研究成果以及統計學中的大數定理等。

1683年在研究無限級數時，雅各曾讨論過一個有趣的“複利”問題，竟然從結果中發現了e！

複利問題本是人們日常生活中常遇到的事，例如存入銀行一筆錢，到期以後，本金加利息一并變成新的本金按原來的利息接着續存，這就叫 “複計利息”，簡稱“複利”。一般人可能以為，照這樣存法，無限地存下去，盈利會越來越高，以緻達到無窮。

圖源：pexls

但經雅各計算，情況卻并非如此。他把這個問題編寫成一個無限級數，從中證明出，如果當初存入的錢數是1，當存的次數無限多時，盈利的總和竟然趨向一個有限的值，而這個值就是e! 1690年，伯努利把這個結果發表在他的系列論文中。

此後很多年的1731年11月25日，大數學家裡昂哈德·歐拉在寫給數學家克裡斯蒂安·哥德巴赫的信中談到了e這個數，并給它起了個名字，叫它“自然數”，并把它作為對數的“底”取對數，從此有了自然對數。e公開出現是1736年歐拉發表在《力學》雜志上的一篇論文裡，在此以後，e開始在數學上有了自己的位置，并作為一個标準常數被引用起來。

令雅各驚訝的是，e這個奇特的數不隻出現在他所計算的“複利”中，還屢屢地出現在其他無限級數求和，例如∑(1/n)、∑(1/n的2次方)的級數求和中；此外在概率的計算中，雅各還發現了一個無限級數求和的值是e的倒數；接着在一個被稱作“帽子保管問題”的無限級數求和中，這個e值又再次出現了。

“帽子保管”問題曾是當時數學界都感興趣的話題，由于引入了e值，使得雅各最終把它計算出來。這個問題非常有趣，它說的是，有很多客人被邀請去參加一個聚會，每個人進屋前都要把帽子交給看門人，由他把帽子放到各自的箱子裡。本來在每個箱子上都标好了客人的名字，帽子應該對号入座，但是這位看門人并不認識這些客人，他放帽子的時候就随意亂放，并沒有按照名字放到該放的箱子裡。

圖源：pexls

于是，問題就出現了，取帽子的時候，所有客人最多需要選多少次，才能把各自的帽子找出來呢？當然，第一位取帽子的人是最困難的。這也是一個級數求和的問題。當客人數趨于無限大時，在雅各的計算結果中，驚現出了e。接着，在标準正态分布的計算中，他再次發現了e值。在雅各數學研究的後期，他非常喜歡研究各種曲線，包括抛物線、雙曲線和螺旋線等。研究雙曲線函數y=1/x時，在計算曲線下所包含的面積時，又與e值相遇。

後來雅各研究螺旋線，再一次與e不期而遇。螺旋線有5種形式，對數螺旋、阿基米德螺旋、連鎖螺旋、雙曲螺旋和回旋螺旋，其中對數螺旋是自然界中最普遍存在的。在研究對數螺旋線時，雅各發現了一個非常有趣的現象，對數螺旋線的漸近線也是對數螺旋線，而在對數螺旋線各點切線的極點也構成了對數螺旋線，在一種螺旋結構中，居然蘊含着多個層次的螺旋結構，這一絕妙特點，使他驚歎不已！

對數螺旋線也深受藝術家們寵愛。英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲曾深切感到，逐漸向中心收縮的螺旋形有其難以言表的美！

螺旋線常出現在名畫中或先人留下來的壁畫中，它們代表了先人對整個宇宙的想象，也宣示了心中對美的感受，而主導螺旋線形體的正是e! 看來人類對螺旋線的寵愛有其内在的數學原因。

在生物學中，海螺殼的結構、向日葵種子的排序、人的指紋和發旋都呈現出螺旋的特點。

海螺殼的結構

作為生命現象基礎物質的蛋白質，在參與生命體的整個過程中，它的功能如此高效，其奧秘也與它的螺旋結構有關。蛋白質的多肽鍊條就是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺旋狀的，而這些螺旋結構中的奧秘都是由e在左右着。

e同樣出現在物理學中，在不知不覺中掌控着自然命運的熱力學第二定律中存在着e；在自然界中，從螺旋星雲和螺旋星系、台風飓風的氣流形，到一縷青煙袅袅上升、老鷹在空中翺翔，都有e的存在；當一首樂曲聽起來很美時，仔細研究，也能從節律中找到e；樂音為人所寵愛，而“樂音”産生的空氣振動也是一種螺旋尾迹；甚至人類經過漫長歲月的進化，其聽覺器官内耳的結構也是螺旋狀。

台風飓風的氣流形

似乎e包羅世界萬象，無所不在。在人類所寵愛的核心中總是e在起着作用。盡管所在的處所不同，卻殊途同歸地都與這個自然數e挂上了鈎。

1690年，在雅各剛引入e時，他對e的估計值僅到小數點後面的第一位；到了1748年，歐拉使用這個值時，它已經精确到了小數點後的第23位；1949年，美國物理學家約翰·馮·諾依曼，利用計算機，把e計算到了小數點後第2010位；到了2010年7月5日，e向世人現出了更為清晰的面貌，到達了小數點後的第1 000 000 000 000位！有一點可以肯定，無論經過怎樣的艱苦努力，人類也不可能看到它的“真值”。看來，自然界之所以不可能完全清晰地顯現出它的真實面貌，其内在原因之一就蘊含在像自然數e和π這樣的無理數中，這就是大自然的神秘所在！

在雅各的一生中，他最為摯愛的就是對數螺旋線，他認為這是最具有魔力、也是最令人向往的神秘圖線，他要求把這個曲線镌刻在他的墓碑上，并用拉丁語注明他的願望：“我将變成相同的樣式複現而出。”

雅各的墓碑

雅各的“靈魂”伴随着e，隐身在他所寵愛的雙曲螺旋中！

來源：《科學史上的365天》,略有删改

作者：魏鳳文 武轶

部分圖源網絡

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