對應邊成比例的三角形是相似三角形

①兩個角對應相等的兩個三角形相似（AA）

②兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似(SAS)

③三邊對應成比例的兩個三角形相似（SSS）

①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例

②相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、對應周長的比都等于相似比

做高、做平分線，依然可以得到2對角相等，通過AA可以得到新的相似，可得高之比等于相似比

做中線，可以得到2對相似邊和一對夾角，通過SAS得新的相似，可得高之比等于相似比。

周長就是三邊之和，周長之比自然就是相似比

③相似三角形的面積比等于相似比的平方

面積=一條邊×這條邊的高，邊之比是相似比，高之比是相似比，面積之比自然是平方比。

通過相似三角形，證明三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段。

D、E是中點，求證AO:OE=2:1

連接CE，易得DE//，AD=2DE,平行之後有很多角相等，很容易根據AA來證得△AOD∽△EOC,

所以AO:OE=AD:DE=2

這算是相似三角形的基本應用了，在解決數學問題中，往往借助相似三角形得出線段的比例關系。

1、‘A型圖’

DE//BC，可得角相等，很容易通過AA得到△ADE∽△ABC

2、‘ X型圖’

DE//BC，可得角相等，很容易通過AA得到△ADE∽△ABC

3、‘K型圖’

‘K型圖’的本質就是利用平角和180°、三角形和180°，你加我，我加他，最後得出等角。2對等角，就可以根據AA得到△ADE∽△ABC

4、母子型（有直角）

有公共角，有直角，根據AA可以得到大三角形和小三角形分别相似。相似之後，對2個小三角形來說，有兩邊對應成比例，且有夾角180°，根據SAS又可以得到2個小三角形相似。有直角的母子性，有三對相似。

母子型中特别重要的射影定理：

之所以叫射影，可以把CD看成垂直地面的一個杆子，CA是光線，AD是影子，CB是光線，DB是影子，形象、貼切！

這個杆子是公用的，也就是在相似三角形中，有一條邊是公用的，這就有了如下等式：

AC、BC、CD之所以要平方，是因為它們在自己的相似三角形中，是公共邊。有了這個定理，就可以做到，給2邊求1邊。之所以有3個等式，因為有三組相似！

當然我們還可以通過這個等式，得到兩邊對應成比例，這時候再來一夾角相等，我們也可以得到相似三角形。

所以說射影定理很好、很重要！

5、母子型（普通）

∠1=∠2，公共角∠C，根據AA得到△ABC∽△BDC.

因為相似隻有一對，所以隻能得到一個等式。

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