狄利克雷，學不好抽屜原理，請不要恨他

抽屜原理是小學奧數中比較難的一個知識點，初次接觸抽屜原理很容易“水土不服”，理解起來有困難。雖然大家對抽屜不陌生、對蘋果更不陌生，但是誰會真得把蘋果放抽屜裡呀？好吧，就算非要這麼幹，那我想問問，你的蘋果多得放不下了嗎，你家有多少個抽屜放蘋果呀？

上面的兩個問題，涉及到了抽屜原理中的兩個關鍵數學量：抽屜數量、蘋果數量。那麼這兩個數學量之間有什麼關系呢？不妨舉一個實際的例子。

小胖買了三個超級大的蘋果，想放入他的兩個寶抽屜裡。如果他随心所欲的放，一共有多少種不同的放法呢？不過得先說明一下，小胖的三個蘋果是克隆蘋果，一模一樣無法區分哦。

列個酷酷的表格枚舉一下，如果不允許把蘋果切成幾瓣，就會看到隻有四種情況。但是這又能說明個啥呢，這不就是對數字3進行整數的拆分嗎？

當然不是這麼簡單了！假設從抽屜裡突然鑽出了一個嘴裡叼着蘋果、蘋果上還寫滿數學符号的大嘴怪，他自稱“抽屜之神”。小胖被吓得半死，但這個大嘴怪隻是問了小胖幾個數學問題。

• “不管是哪一種分法，總有一個抽屜裡放了0個或0個以上的蘋果吧？” 小胖哆哆嗦嗦地數了數（都吓傻了，這還用數嗎），發現确實是這樣，就回答了是。
• 大嘴怪又問：“不管是哪一種分法，總有一個抽屜裡放了1個或1個以上的蘋果吧？”小胖又對照着表格核對了一遍，發現還是這樣，又回答了是。
• 大嘴怪還問：“不管是哪一種分法，總有一個抽屜裡放了2個或2個以上的蘋果吧？”小胖有點吃不準，但在仔細核對後，又回答了是。
• 大嘴怪繼續問：“不管是哪一種分法，總有一個抽屜裡放了3個或3個以上的蘋果吧？”小胖心想這怎麼還沒完沒了了呢，但不敢不回答，仔細檢查過後他發現有兩種情況不符合大嘴怪說的這個情況。

大嘴怪，額，不對，抽屜之神說：“OK了，蘋果個數是3、抽屜數量是2，那我們可以說無論怎麼放，總有一個抽屜會放入2個或2個以上的蘋果。”

小朋友們，你們看，這裡說的“總有一個抽屜會放入2個或2個以上的蘋果”就是最終的結論，這是抽屜原理中最費解、但也最重要的數學量，咱們把抽屜數量、蘋果數量、結論這三個數學量看做抽屜原理的三個法寶。甭管什麼樣的抽屜原理題目，來來回回都是圍繞這三個法寶來展開的。

顯而易見，結論是根據蘋果數量、抽屜數量得來的，但是如果蘋果數量、抽屜數量變了呢？總不能每次都列出表格吧，有沒有更簡潔的方法呢？

必須有！

再回顧一下大嘴怪和小胖的對話，當将3個蘋果放入2個抽屜裡時，我們可以說無論哪種放法，總有一個抽屜放入0個或0個以上、1個或1個以上、2個或2個以上，但不能說3個或3個以上。結論中的數學量不是3，這是因為不能确保總如此，有的放法可以、但也有放法不可以；結論中的數學量也不是0或1，雖然能确保，但是沒啥意義，這屬于正确的廢話，因為我們真正關心的是那個最大能确保的數字（再大就不能确保了），所以結論是2。

回想一下我們課堂上的推導過程，就會發現抽屜原理體現的其實是最值問題。

• 最小的最大：在所有能确保的結論當中尋找最大的那個數。
• 或最大的最小：從每一次分配方式中選出蘋果最多的抽屜，然後将這些抽屜由大到小排隊，結論就是其中最小的那個數。

生活中我們常說，“既要馬兒跑，又讓馬兒少吃草”，這怎麼可能呢！但在抽屜原理中，我們就是要做到“既能至少”，“又能确保”。怎麼做到呢？這就需要平均分配的思想啦！

舉一個賊簡單的例子：鎮元大仙摘了10個人參果分給孫悟空、豬八戒、沙僧三個師兄弟（為什麼沒有唐僧？給他了，他不要吃），但要求拿到人參果最多的那個人，分到的人參果數量要盡可能少，這該怎麼做呢？

學過奧數最值問題的小朋友肯定知道：當然是平均分配（與之相對應的是“兩極分化”最值思想），10/3=3...1，每人分3個，還剩1個，誰拿到這一個誰就分到了最多數量的人參果，且在所有分配方式中，這個最多數量（4個）是最多數量中最小的數。前面這句話是不是有點費解呢？那咱們就換個說法：把10個人參果分給三給人，無論你怎麼分，總有一個人會拿到4或4個以上的人參果，換言之，總有一個人會拿到至少4個人參果。

哈哈，熟悉抽屜原理的同學立刻樂了，這不就是抽屜原理的結論嗎？Yes，抽屜原理本質上就是平均分配。将N個蘋果放到m個抽屜裡，會有各種各樣的放法，但如果把蘋果平均分到每個抽屜裡，假設N/m=k...r，即每個抽屜都可以放入k個蘋果，還餘下r個。顯然這r個蘋果也要放入抽屜中（但不夠一個抽屜放1個了，因為r<m，餘數總是小于除數），無論怎麼放，總會有一個抽屜起碼再接收至少1個蘋果，即可以得出抽屜原理的結論：“總有一個抽屜放入了至少k 1個蘋果”。

So，如果你能透徹理解平均分配這一思想，就能更好得理解抽屜原理。當然你也可以死記公式：

根據“蘋果數/抽屜數=k...r”的餘數來判斷，如果r不為0，則總有一個抽屜放入了至少k 1個蘋果；若r為0（即沒有餘數），則總有一個抽屜放入了至少k個蘋果。

然而，這樣你就如同一口吞掉人參果的豬八戒一樣，根本體會不到數學的妙味了！

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