高中數學63套常用的解題方法大全?馮躍峰四步解題法是一種行之有效的思維方法當然，你不可能一下就完全掌握它的所有内容，但隻要逐步熟悉了它的某些環節，對解題能力的提高也是頗有裨益的，我來為大家科普一下關于高中數學63套常用的解題方法大全?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

高中數學63套常用的解題方法大全

馮躍峰

四步解題法是一種行之有效的思維方法。當然，你不可能一下就完全掌握它的所有内容，但隻要逐步熟悉了它的某些環節，對解題能力的提高也是頗有裨益的。

本節介紹“四步解題法”的第一環節的任務之一：“明确目标”。

所謂明确目标，就是确立解題的目标狀态，做到“胸有目标”，一切思考與推理都圍繞着目标而展開。

在數學解題中，明确目标并沒有得到人們的足夠重視。有的解題者甚至連題目都沒有讀完，就忙于作答；有的解題者雖然能先了解一下問題的結論，但不能從結論中充分獲取有關信息去指導解題，總習慣于從條件出發，盲目進行各種推理或演算，這無異于瞎碰亂闖。到頭來，密密麻麻寫了一片，解題還是不得要領，導緻解題的失敗。

我們看下面的例子。

例1、橢圓的一個焦點分其長軸的比為，求橢圓的離心率。

【誤解】 設橢圓的長軸和短軸的長、焦距分别為2a、2b、2c，則依題意，有

= ①

做到此處，有些解題者抓不住變形方向，而是看到①式右邊含有根号，誤以為将根号去掉，可使運算簡單。于是，①式兩邊平方，得

= ，

去分母，得2（a c） ²=3（a-c） ²。

展開、合并，得a² c²-10ac=0 ②

由于解題者對變形的目标不明确，做到此處，便不知如何作下去，解題終歸半途而發。

反之，如果一開始就抓住目标，并且在變形中時刻注意靠近目标，那麼變形就會減少盲目性，能在茫茫的思緒中找到點燃勝利之光的火花。

實際上，本題的目标是要求出比值 c:a，這樣，在得到①式後，就應思考如何變形才能産生 c:a。也就是說，要設法由①湊出一些c/a來。

和上一篇介紹的2021年那個高考題一樣，這可從局部突破：考察其中的字母“c”，湊出c/a，需要将其配上分母a，由此想到對分式的分子、分母分别除以a即可。

但為了使式子變得簡單，可先去分母化為整式，然後再實施湊配。

于是，由①得 （a c）=（a-c），

兩邊同時除以a，得

（1 e）=（1-e），其中e=c/a。

解上述關于e的方程，即得離心率e=5-2。

由此可見，變形中始終不忘解題目标是保證解題順利進行的重要條件。而且，即使開始時沒有注意到目标，走了一段“彎路”，但隻要及時“擡頭看路”，把握前進的方向，還是能使解題重回正軌。

如本題，在得到等式②後，若尚能抓住目标c:a，則仍可找到正确的變形使解題通向成功。

實際上，②式兩邊同時除以a²，得1 e²-10e=0。

再根據0<e<1，舍去一解e=5 2，即得正确答案：

e=5-2。

也可視②中的c為常數，解關于a的一元二次方程，得出 a與c的關系；或運用比例性質亦可求出c:a。

總而言之，本題不管采用什麼解法，都使我們看到解題中明确目标的重要性。如果解題者對解題目标胸中無數，就會盲目地對條件進行變形，這就很難導出有用的結果。即使一些有用的結果産生了，也會因目标不确而失之交臂。

我們再舉一個例子。

例2、已知cosα cosβ=a ①，

sinα sinβ=b ② ，

求cos（α β）。

【誤解】目标為：cos（α β）=常數。

一些同學看到這個目标，馬上聯想到相似知識，将目标狀态變為：

cosαcosβ-sinαsinβ=常數。

而題設條件中含有sinα、cosα、sinβ、cosβ，又想到利用公式：

sin²α cos²α=1，sin²β cos²β=1。

于是，①² ②²，得

2 2sinαsinβ 2cosαcosβ=a² b²，

由此得cos（α-β）=（α² b²-2）/2 ③

注意到③中的cos（α-β）與目标cos（α β）相差一個符号，由此想到調整原有變形，由①²-②²，得

cos²α-sin²α cos²β-sin²β 2cosαcosβ-2sinαsinβ=a²-b²，

由此得cos2α cos2β 2cos（α β）=a²-b² ④

至此，似乎無法消去上式中的“cos2α cos2β”，仍無法求出cos（α β）。

這樣，解題者便懷疑原有思路的正确性，從而别開上述結果，重新進行嘗試：

①×②，得sinαcosα sinβcosβ cosαsinβ cosβsinα=ab，

即（sin2α）/2 （sin2β）/2 sin（α β）=ab ⑤

此式與目标相距更遠!這樣，便不知如何做了。有的解題者甚至還嘗試着考察① ②，①-②等等，真是使盡渾身解數，還是收效甚微。

究其失敗的原因，是解題者未能把握住解題目标的本質，對有用的信息未能産生有效的反應。

正确的解法如下：

【分析與解】首先，本題的目标狀态是：cos（α β）=常數。

一般地說，我們的眼光不能囿于原始目标這個點上，而應該在更寬泛的範圍去理解目标，我們将這個“寬泛的範圍”稱之為面，目标狀态稱為點，通過以面帶點，準确地把握目标的特征。

對于本題，其目标可理解為：關于角α β的一個三角函數值（不一定求餘弦，得到其它三角函數值是可以轉化為餘弦的）。

在這種理解下，自然想到在條件中設法構造角α β，這才是正确的把握了目标。瞄準這一目标，變形就變得清晰而自然了。

為構造角α β，自然想到①、②兩式左邊和差化積，得

2coscos =a，

2sin cos =b。

與目标比較，隻需消去cos 。

于是，兩式相除，得

tan=。

現在再瞄準目标，發現隻需将目标中的“α β”轉化為“”，将餘弦轉化為正切，即可利用這一中間結果。

這很容易聯想到相似知識：能同時實現這兩個轉化的公式是“萬能公式”

——cos（α β）=，

其中t= tan。

于是，cos（α β）=

=

=。

解題順利獲得成功。

同上例一樣，即使開始時走了一些彎路，但隻要及時瞄準目标：構造角α β，便可以使解題重回正軌。

比如，前面得到④式後，已經産生了角α β，隻需将剩餘部分的cos2α cos2β也轉化為角α β的函數即可。

由此想到和差化積，于是④可變為

2cos（α β）cos（α-β） 2cos（α β）=a²-b²。⑥

将⑥與目标比較，發現隻須消去cos（α-β）。這利用等式③，問題便可獲解。

由以上兩個例子可以看出，如果我們解題中能瞄準目标，并能準确地把握目标，則思維就會變得非常具體，變形或推理就具有目的性和對對性，也就可有效避免一些不必要的演算或推理，使解題順利走向成功。

一旦解題遇到困難，甚至發現自己在“繞圈子”，那麼，你首先應考慮的問題是“我究竟在幹什麼?”也就是說，你應該停下來，靜心地想一想你所做的工作是否對準了你的目标?目标是否正确?能否更換一個目标?當你一旦發現自己的行動與目标的差距時，你就會恍然大悟，找到正确的解題途徑了。

我們看一個邏輯方面的例子。

例3、某國有說謊和說真話的兩種人，說謊者句句謊言，說真話者句句為真。在一次閑聊中，A說B和C兩人都說謊，而B矢口否認，但C說B确實說謊。試問這三人中究竟有幾人說謊?

請你先思考一下，本題的目标是什麼?然後再試試能否得到正确答案。

在解決這類邏輯問題時，通常應把所有可能的情形列成表格，以便從表格揭示的各種關系中找到解題途徑，也許你對眼前這道題也作了類似的嘗試吧?但你決不會成功，因為你這樣來解題時，已經把題目的目标改變了！

實際上，原題的目标是判斷三人中有幾個人說謊，而不是判斷誰在說謊，通過這一提示，你也許能找到問題的答案了。

盡管我們不能判斷B、C誰在說謊，但可以斷定他們兩人中恰有一個人說謊，這是因為他們兩人的話是對立的，不能同真或同假。由此還可推斷A的話為假，因為B和C不可能都說謊。于是，本題的答案是：三人中恰有兩人說謊。

但是，除可斷定A說謊外，B、C兩人誰究竟說謊？根據本題的條件是無法确定的。如果你立足于讨論誰在說謊，那麼你就永遠也找不到答案。

由此可見，随意地改變問題的目際，盡管你認為他們之間無多大差别，甚至幾乎是一緻的，都可能使問題面目全非，這就充分說明了正确把握目标的重要性。

那麼，解題中怎樣才能準确地把握解題目标呢？對此，我們将在後面的文章中詳細介紹。

【一點說明】 所有文章免費閱讀，謝謝轉發、分享。競賽學生可在微信中關注“躍峰奧數”公衆号；高考學生可在今日頭條中關注“躍峰奧數”頭條号，閱讀相關文章。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!