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怎麼快速計算楊輝三角

科技 更新时间:2024-12-27 10:47:10

楊輝,字謙光,漢族,錢塘(今杭州)人,南宋傑出的數學家和數學教育家,生平履曆不詳.由現存文獻可推知,楊輝擔任過南宋地方行政官員,為政清廉,足迹遍及蘇杭一帶,他署名的數學書共五種二十一卷.所著的《詳解九章算術》(1261年)一書中用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律.

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楊輝三角,是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623----1662)是在1654年發現這一規律的,比楊輝要遲393年,比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一,它把二項式系數圖形化,把組合數内在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來,是一種離散型的數與形的優美結合.

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仔細觀察楊輝三角的圖形,你能發現組成它的數有什麼排列規律嗎?

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它的前幾層是這樣的:楊輝三角的兩條斜邊都是由數字1組成的,而其餘的數則是等于它肩上的兩個數之和,以此類推。動态數字展示如下:

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楊輝三角多彩的性質展示如下:

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楊輝三角是我國古代數學的瑰寶,它不僅像上面呈現了二項式定理中有關二項式系數的性質與規律,而且其本身還包含着許多有趣的規律、結論與性質.正因為如此,以楊輝三角為背景的試題在近年的各地中高考或模拟卷中時有出現,下面就讓我們來看看其中一些常見的問題.

例1.如圖是與楊輝三角有類似性質的﹣三角形數壘,abcd是相鄰兩行的前四個數(如圖所示),那麼當a=8時,c=____ ,d=______.

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【解析】觀察發現:第n行的第一個數和行數相等,第二個數是1 1 2 … n﹣1=n(n-1)/2 1.所以當a=8時,則c=9,d=9×4 1=37.

例2.如圖為與楊輝三角結構相似的"巴斯卡"三角,這個三角的構造方法是:除第一行為1外,其餘各行中的每一個數,都等于它右肩上的數乘以右肩所在的行數,再加上左肩而得.例如第5行第3個數是35,它的右肩為6,左肩為11,右肩所在的行數為4,所以35=6×4 11.這個三角中的數與下面這個展開式中的系數有關:

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則在"巴斯卡"三角中,第8行從左到右的第2個數到第7個數之和為( )

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A.322559 B.35279 C.5880 D.322560

【解答】由已知中"巴斯卡"三角的前5行可得:第n行的第一個數為(n﹣1)!,故第8行的第一個數為:7!,第9行的第一個數為:8!,又由:第一行的累加積等于第二行的第一個數;第二行的累加積等于第三行的第一個數;第三行的累加積等于第四行的第一個數;第四行的累加積等于第五行的第一個數;…,故第8行的所有數的和為:第9行的第一個數8!,設第8行從左到右的第2個數到第7個數之和為S,則S 7! 1=8!,故S=8!﹣7!﹣1=35279故選:B

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本題結合楊輝三角數表中的數值的排列規律,在"新問題""新背景"下,再次尋找"新規律" "新思路",以此,在學習與再探究過程中,培養學生體驗數學方法,實現對"新問題""新思路"的探究.

很多讀者迷迷糊糊,疑惑楊輝三角存在的現實意義是什麼呢?簡單地說楊輝三角如縱橫路線圖問題:

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又如彈球遊戲多問題:觀察下圖,小球落在AG兩區域的概率要比其他區域小得多,當然得到的遊戲獎品就更多一些。從該圖中不難發現,各區域的概率與楊輝三角形有密切聯系,我們可以直接利用楊輝三角的性質得出小球落到每個區域的概率。

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簡單化處理,我們求解這樣問題:如圖所示是在豎直平面内的一個"通道遊戲".圖中豎直線段和斜線段都表示通道,并且在交點處相遇,若豎直線段有一條的為第一層,有二條的為第二層,依此類推,現有一顆小彈子從第一層的通道裡向下運動.并且小彈子落入每一條通道的可能性相同,則該小彈子從第三層通道的出口B脫出的概率為 ______.

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【解答】第2層的2個出口都有可能從B通過,∴小彈子從第三層通道的出口B脫出的概率為2/(1 2 1)=1/2,

"堆垛術"也與楊輝三角有關系。将許多球堆成三角垛:底層是每邊 個球的三角形,向上逐層每邊少一個球,頂層是一個球,求總數。

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底邊球的個數 1 2 3 4 5 …;三角垛中球的總數 1 4 10 20 35 …;這時自然發現了三角垛中球的總數正好是楊輝三角中第4個斜向數組!

楊輝三角就像一座數學寶庫,其間應有盡有!古老的楊輝三角的某些優美的性質在現代生活中得到了充分的體現,令人不由為燦爛的古代文明新生自豪之情。楊輝三角,不隻是一片雲彩,它是熠熠生輝的中國古代數學瑰寶!

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