我們都學過初中平面幾何，也都大概了解所謂的公理系統，即由一些基本的結論作為公理結合定義可以證明其餘的所有的其他結論（也可以統稱為定理）。我們也知道公理體系往往有兩個基本特征：（1）相互之間不矛盾；（2）個數盡可能的少.

但是我們幾乎都不知道，這些公理能否減少（即公理之間能否互相推證）以及如何由這些公理推出其他定理。

（1）直線公理：過兩點有且隻有一條直線。

（2）線段公理：兩點之間，線段最短。

（3）垂直性質：同一平面内，經過一點，有且隻有一條直線與已知直線垂直。

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行。

（5）平行公理：過直線外一點有且隻有一條直線與已知直線平行。

（6）兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等。(SAS)

（7）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。(ASA)

（8）三邊對應相等的兩個三角形全等。(SSS)

（9）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

其實，課本中還有很多結論都是沒有證明的，基本也算是公理。例如

（10）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。

（11）如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那麼這兩個直角三角形全等.（HL）

當然不同版本的教材選擇的公理體系不盡相同，但是基本也都是大同小異。

我想很多人都思考過：上述11個公理能互相證明嗎？最少需要多少個公理就能得到其他的剩下的公理呢？

讓我們先從三角形内角和說起。

例1.證明三角形的内角和為平角.

證明：

如圖，過A作AE//BC,

由兩直線平行，同位角相等以及内錯角相等，知

∠DAE=∠B,∠EAC=∠C,

從而∠C ∠B ∠BAC

=∠EAC ∠DAE ∠BAC

=∠DAB=180°.

這是一個衆所周知的經典證明，證明的關鍵是用到了平行線的性質——兩直線平行，同位角相等及内錯角相等。不難看出同位角相等及内錯角相等是等價的，我們重點考察其中的一個。不妨隻考慮:兩直線平行，同位角相等。

注意!這不是公理，上述公理（4）是其逆命題，雖然原命題和逆命題看起來很像，但是從邏輯上講，他們的真假之間沒有關系，所以要分别證明。當然往往原命題和逆命題的證明是類似的，或者可以通過其中的一個證明另一個。

例2：證明：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

證明：反證法，

若兩直線平行，同位角不等，如圖所示，

過B作∠ABF=∠ADE，

則由公理（4）：同位角相等，兩直線平行得

BF//DE,又BC//DE，

這與公理（5）（平行公理）：

“過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”

矛盾。從而假設不成立，原命題成立。

上述證明主要利用了公理（4）和公理（5）。

公理（5）是大名鼎鼎的平行公理，是無法證明的。那公理（4）呢？

例3：求證：同位角相等，兩直線平行。

證明：反證法，如圖，

若∠ABC=∠ADE,且BC,DE不平行，

則它們必相交于點F，

由“三角形外角大于不相鄰内角”

知∠ABC>∠ADE,

從而與已知∠ABC=∠ADE矛盾，

故假設不成立，則原命題成立。

這似乎完成了全部的證明。但是仔細琢磨一下，上述證明中“三角形外角大于不相鄰内角”是如何證明的呢？

常見的證明方法是由三角形内角和為180°知三角形的外角等于不相鄰的兩個内角之和。從而得到三角形的外角大于不相鄰的内角。

這裡明顯出現了問題，因為用到了例1中的三角形内角和為180°的結論，這是典型的循環論證。

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