​讓我們先來看看當我們開車經過如上圖這樣的一段S形路時會發生什麼。

為了讓車輛沿着道路行駛，我們在A處首先微微向左轉動方向盤，這時汽車就會向左轉彎，然後保持在車道内行駛。憑借我們在駕校訓練得到的經驗，我們不用多加思索就知道當汽車經過B點時，我們應該平穩回正方向盤，之後緊接着繼續向右微微轉動方向盤，這時汽車便能向右轉彎，然後繼續平穩地沿着車道駛過S形道路的後半段。（A~B之間方向盤的方向其實沒有變化，也就是說“沒有拐”。）

注意到B點發生了什麼嗎？在B點處我們将方向盤回正了。B點之前的AB段，汽車的方向盤是處于左轉狀态；而B點之後的BC段，汽車的方向盤是右轉的狀态。在B點處，方向盤經曆了從偏左到回正再到偏向右的變化。也就是說，B點處汽車經曆了從左轉狀态到右轉狀态的狀态轉化。這也正是拐點這個詞的來曆，它表示了汽車行駛狀态在該處會發生變化，也就是拐了一個彎。（也就是說B點方向盤方向發生了變化，“拐了”）

拐了、拐了

需要注意的是，不論是AB段還是BC段，汽車的位置始終都在向左偏移。換句話說，随着汽車不斷前進，汽車的位置越來越靠左了。當我們最終完全駛過S型路段之後，汽車的行駛方向未發生變化，但位置和之前相比更靠左方了。

D點和E點雖然是看上去汽車方向發生最大的偏轉的位置，但其實方向并沒有切換。在駕駛過程中，方向盤方向發生變化，同時，車輪方向發生變化的點是B點。

車輪偏轉方向切換的點，我們把定義成拐點的話。從行車軌迹上來說，也就是行車軌迹形狀的凹凸改變的點。所以數學上更嚴謹的定義是：

拐點：使函數凹凸性改變的點。

那麼首先我們來解釋一下，什麼是凹凸。一般來說，凹凸是個定性的詞彙，并不是個定量的詞彙。我們一眼看上去是凹的，就是凹的，一眼看上去是凸的。

但是有的函數往往不會是一直凹的，也不會是一直凸的。

我們似乎很難找到那個由凸轉凹的分界線，也很難找到由凹轉凸的分界線。

我們想找到凹凸切換的準确的點。我們首先要把，凹凸給定量描述，而不能感性的定性描述。

我們知道，我們想看一個平面是凸的，還是凹的，就是用一個直尺放在這個平面上，如果兩邊接觸，而中間沒接觸，則為凹的；相反，如果中間接觸，而兩邊不接觸，則為凸的。

數學上也是運用了一樣的原理。

凹凸性的定義

一階導數就是函數切線。一個函數的拐點可能是二階導數為0的點,也有可能是二階不可導點。至于為什麼拐點處二階導數為0,是這樣的，一階導數描述函數的變化,二階導數描述一階導數的變化,也就是斜率的變化情況，拐點處斜率大小由遞增變為遞減,或者由遞減變為遞增,這樣自然二階導數為0了。

所以，通俗的說，拐點隻是走向變化了，并不代表開始減少了。并且時候斜率突變，你也不知道往哪個方向拐。

你不知道函數式，其實是不能預測拐點。

能夠預測拐點，其實也不能預測函數的斜率，也不能預測函數的最大值和最小值。

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