上圖是一個求四棱錐内切球半徑的問題。

球是曲面，曲面比平面看起來更複雜，所以有些同學看到立體幾何裡出現球就害怕，看到内切球就更害怕了。其實恐懼來自未知，掌握方法就不怕了。看完下面的方法，你會覺得這種題超簡單！

問題與問題之間不是孤立的，各種題型和解法之間相互聯系。在講怎麼求棱錐内切球半徑之前，我們先來求三角形内切圓半徑。

在△ABC中，作一個内切圓⊙O。三角形的内切圓是怎麼定義的？是和三角形各邊都相切的圓。相切就有切點，分别設為D、E、F。把圓心O和三個切點連起來，觀察一下。

經過切點的半徑垂直于切線，所以OD、OE、OF分别垂直于AB、BC、CA。

再把OA、OB、OC分别連起來，△ABC被分割成了3個三角形△OAB、△OBC、△OCA。

OD、OE、OF分别是△OAB、△OBC、△OCA的高。于是得出：

S(△ABC)=S(△OAB) S(△OBC) S(△OCA)

=½|AB|·|OD| ½|BC|·|OE| ½|CA|·|OF|

而|OD|=|OE|=|OF|=r，r為内切圓⊙O的半徑

∴ S(△ABC)=½(|AB| |BC| |CA|)·r

上式中的|AB| |BC| |CA|，其實就是△ABC的周長。假如三角形周長用C表示，面積用S表示，公式就變得非常簡潔：

S=½C·r

可以叙述為，三角形面積等于周長和内切圓半徑乘積的一半。

注意，這裡建立了三角形面積、周長、内切圓半徑3個量之間的關系，已知其中任意兩個就可以求出第三個。而且内切圓圓心在哪、切點在哪，都跟這個公式無關，也即不用作出内切圓就能直接運用這個公式。在解析幾何題裡如果看到内切圓，一定要想到這個公式！

如果把内切圓半徑寫在式子左邊，公式就是：r=2S/C。

有了上面的鋪墊，再來看棱錐的内切球就簡單了。

其實不用作出内切球就能運用最後的方法，但為了推導我們還是作出圖來。圖中内切球和各個面相切的切點在哪？不重要，在你的想象中看到就行了。

與三角形内切圓問題類似，我們把内切球球心O和四棱錐的5個頂點分别相連。于是四棱錐P-ABCD被分割成了5個棱錐O-PAB、O-PBC、O-PCD、O-PDA、O-ABCD。

将内切球球心O與四棱錐P-ABCD各個面上的切點分别相連，就是這5個棱錐的高（相應以四棱錐P-ABCD的各個面為底），長度均為r。

V(四棱錐P-ABCD)=V(三棱錐O-PAB) V(三棱錐O-PBC) V(三棱錐O-PCD) V(三棱錐O-PDA) V(四棱錐O-ABCD)

=⅓S(△PAB)·r ⅓S(△PBC)·r ⅓S(△PCD)·r ⅓S(△PDA)·r ⅓S(□ABCD)·r

=⅓[S(△PAB) S(△PBC) S(△PCD) S(△PDA) S(□ABCD)]·r

S(△PAB) S(△PBC) S(△PCD) S(△PDA) S(四邊形ABCD)就是四棱錐P-ABCD的表面積，假如該表面積用S表示，四棱錐P-ABCD的體積用V表示，上式就變為：

V=⅓S·r

于是建立了棱錐體積、表面積、内切球半徑3個量之間的關系。

如果把内切球半徑寫在式子左邊，公式就是：r=3V/S。

這個公式不需要特别去背，掌握上面推導的原理自然就寫出來了。

從三角形内切圓到棱錐的内切球，從二維到三維，從S=½C·r到V=⅓S·r，其實公式形式一緻，就是各個量對應作了升維。數學之美，是不是妙不可言？

最後留一道習題，來做一下，看看方法會用了嗎？

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