有學生問到了凸凹反轉在導數中的應用，今天就此做一個簡述。

函數的凸凹性其實就是看在某一區間内二階導數的保号性，凸凹性發生改變的點叫拐點，但在導數中的凸凹性并非一定是嚴格凸凹的，隻需函數不單調，在區間内存在極大值或極小值，即有一個容易确定的極值(或最值)即可。

凸凹翻轉的使用場景肯定和指對數同時存在的函數有關，常用于指對數混合函數的證明中，也可以用在恒成立求參數範圍的題目中，若求參這種方法并不建議使用，其實凸凹翻轉還可适用于根據函數個數求參數範圍的題目中或根據指對數有無交點擴展出的恒成立求參問題，這裡不得不又搬出那個經典的題目，如下：

上述題目就是一個典型的根據凸凹性求參數範圍的題目，由于題目較為簡單，指對數的凸凹性很容易判斷，但如果函數中指對數的形式較為複雜或添加了其他類型的函數，此時函數如何分組？如何确定凸凹性？如何确定可用凸凹反轉解題？

至于如何分組這并沒有太好的方法，以混合型函數的證明為例，指對數要放到不等式的兩側，證明f(x)min≥g(x)max，但指對數分别與不同的函數結合會産生不同的函數形态，結合之後的函數有無所需的極值最值，有無所需的凸凹性都不确定，指對數與哪些函數結合有兩個判定方法，一是根據常見的指對數型本身的單調性和極值點情況，二是要會判斷一些複雜函數的極限值，例如y=lnx-x，當x→-∞時，y→-∞；當x→ ∞時，lnx的增長速率要遠小于x的增長速率，此時y→-∞,因此可初步判定函數的趨勢為增減趨勢，函數存在極大值點，可看作上凸函數，y=lnx-x²的趨勢也類似，當然上述例子很簡單，但極限是判斷函數有無極值最有利的工具，因為不可能再像常規做法那樣去求導判斷單調性。

以上是六種最基本的指對數模型，函數的形态可結合在定義域端點和無窮處的極限值來輔助記憶，若基本模型與其他式子結合，可用不同函數的增長速率不同輔之以極限法确定，關于凸凹反轉，以下面的題目為例：

本題證明方法有很多，若用凸凹反轉來證明，左右各除x有兩個考慮，一個這是對對數函數的常規處理(對數構加減)，二是從左右兩側函數的趨勢考慮，至于為什麼左右兩側各添加一個-x，是因為右側lnx-x是一個常見存在極大值的函數形态，但若隻從右側形态出發還可以添加-x²，但次數越高，函數形态越複雜，一切從簡，此時能确定右側為上凸函數存在最大值，而左側函數可用極限值來确定一下大緻的趨勢，分别計算在x=0和x= ∞處的函數值，函數最有可能的是單增或存在一個極小值(基于猜測而已)，再計算一下左側的導數值加以判斷即可。

從上題能看出，與指對數有關的證明題用凸凹反轉來做很多時候就像摸着石頭過河一樣，心理着實沒底，但除了凸凹反轉，更多的時候是先對指對數函數預處理，構造函數求最值，此時可能會用隐零點法，或者直接通過放縮來證明。

以上用凸凹反轉時對左右函數取得最值的x值并不要求，但若用該方法求參數範圍，那麼必須要求在同一點取得最值，這一點就很難預測，因此這也不作為指對數恒成立求參的主要方法，知道即可，相關的例子如下：

最近看到金太陽的一道題目，難度不大，分享如下：

題目用基礎的指對數放縮即可，若用凸凹反轉，此時如何分組，若參考上題考慮右側，能否分組成證明xe^x-x²-2>2lnx-x？隻看左側，因為xe^x比e^x的增長速率更快，而指數函數在增長又快于幂函數，因此左側函數能大緻判斷出單增，不存在極小值點。

題目分組有兩種方法，因為e^x/x為常見指數模型，不等式兩側同除x²，如下：

除了兩端點的極限之外，又因為x=1時右側函數為1，因此右側函數的趨勢可能為先增後減，存在極大值點，左右圖像為：

和方法1類似，結合右側函數端點處的極限值，加之x=1時函數值為2，猜測函數依舊為先增後減，存在極大值，左右函數圖像為:

結合上述兩種方法明顯可知方法二不滿足f(x)min≥g(x)max,但從函數形态上看兩者都滿足，其實究其原因還是題目本身的設置問題，改變某個常數即可滿足，方法一中有六種指對數模型之一，而方法二中并沒有，可能從某種程度上題目設置時還是依據于基礎型函數，構造函數時無需想的過于複雜，也許想得簡單了，題目也就簡單了。

導數中的凸凹反轉思想有一定的用途，在零點個數以及零點個數引起的參數範圍問題上會有幫助，但在導數大題中，函數分組本就是一項不太容易處理的難點，即便用極限輔助判斷依舊可能出現最值不滿足的情況，更何況用凸凹反轉來求恒成立下的參數範圍，方法了解即可，很多教輔參考書上用該方法本身就是站在上帝的視角下用答案來反推方法，還是要注重常規方法的練習。

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