我們知道，當x∈(0，π/2)時，sinx<x<tanx。那麼，你是否知道誰比誰大得更多呢？今天老黃分析的高數題就跟這個不等式有關。可以說是這個不等式的一個變形，希望更深一層。探究tanx比x大得多，還是x比sinx大得多。即：

證明：tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

分析：這裡至少有兩種思路。一是求不等式兩邊的比，隻要比值大于1就得證。另一種思路是求它們的差，隻要差大于0也就得證了。兩個思路不一定都行得通，或者說，有難有易。這裡選擇求它們的差，然後再求差表示的函數的導數，甚至是二階導數，來證明它們的差大于0.

在求不等式兩邊的差之前可以先将不等式做一個适當的變量，降低求解的難度。因為tanx=sinx/cosx，所以tanx/x=sinx/(xcosx). 不等式兩邊同時乘以sinx，就得到：(sinx)^2/cosx>x^2.

再記輔助函數f(x)=(sinx)^2/cosx-x^2. 并求f'(x)=sinx/(cosx)^2 sinx-2x. 觀察發現這時還無法得到結論。

所以繼續求f"(x)=cosx 1/cosx-2 2(sinx)^2/(cosx)^3,

其中cosx 1/cosx>2, 2(sinx)^2/(cosx)^3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是嚴格增函數，而f'(x)在x=0處連續，且f'(0)=0，因此f'(x)>0. 即f(x)在(0，π/2)上也是嚴格增函數，而f(x)同樣在x=0處連續，且f(0)=0,

所以f(x)>0，即(sinx)^2/2>x^2. 這樣就證明了在(0，π/2)上，tanx比x大得多，而x比sinx大的就相對沒有那麼多了。下面組織解題過程：

證：原式等價于sinx/(xcosx)>x/sinx，即(sinx)^2/cosx>x^2，

記 f(x)=(sinx)^2/cosx-x^2，則f’(x)=sinx/(cosx)^2 sinx-2x；

f"(x)=cosx 1/cosx-2 2(sinx)^2/(cosx)^3,其中cosx 1/cosx>2, 2(sinx)^2/(cosx)^3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是嚴格增函數，

而f'(x)在x=0處連續，且f'(0)=0，因此f'(x)>0, x∈(0，π/2).

即f(x)在(0,π/2)嚴格增，且f(x)在x=0處連續，f(0)=0，

∴f(x)>0，x∈(0,π/2). 即(sinx)^2/2>x^2，∴tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

另一種通過求證不等式兩邊的比大于1的方法，有興趣也可以自己嘗試一下。重要的不是結果，而是探究的過程！

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