春秋時期，孔子周遊列國，一次，到了衛國地界，衛靈公想和孔子談學，實際上就是給自己貼金。孔子欣然應允。孔子給衛國的群臣們講德，君臣們聽得玄乎不知所雲，孔子普見衛靈公左右簇擁着許多美女，就用君子好德如好色來形容衛靈公。

　　把喜形于色用于解題，即把問題的對象恰當染色，以便觀察、分析對象之間的關系，通過對染色圖形的分析達到解決原問題的目的，這種解決問題的方法叫染色法。

　　染色法是分類的一種直觀形象表示,解答這類問題，往往是奇偶性、抽屜原理等多種知識的綜合運用。一般情況下題目并沒有提到染色，我們在解題中用直觀形象的染色法進行分類,往往淺顯明了,使人一目了然。象棋棋盤的網格是最直觀、最常見的染色模型。

　　遊戲與數學密不可分。數學遊戲為許多古老和新興的學科，如圖論、拓撲學、博弈論、概率論、組合數學等提供了素材，促進了這些學科的誕生與發展。

　　阿基米德的群牛問題（最終歸結為方程ｘ２－４７２９４９４ｙ２＝１）和中國的百雞問題促進了不定方程理論的發展，百雞問題是一個數學問題，出自于中國古代數學家張丘建所著的《張丘建算經》，是原書的最後一題。它是世界著名的不定方程問題，幾乎就是不定方程的代名詞。13世紀意大利斐波那契的《算法之書》和中世紀阿拉伯的阿爾·卡西的《算術之鑰》都有百雞問題。

　　原題如下：

　　今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵[chú]三，值錢一。

　　凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？

　　答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六；

　　又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七；

　　又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。

　　歐拉關于哥尼斯堡七橋問題的研究直接導緻圖論的創立，概率論起源于一個關于賭博的遊戲，合理分配賭注問題成為概率論創立的基本問題之一。

　　馬丁·伽德納（1914-2010），名聲顯赫的業餘數學大師、魔術師、懷疑論者，他曾經為《科學美國人》雜志趣味數學專欄寫作長達30年，伽德納沒有數學博士學位，但是他的作品更讓廣大普通讀者和數學家為之着迷。

　　例1. 遊戲機的俄羅斯方塊中共有下面7種圖形，每種方塊都由4個1×1的小方格組成，現用這7種圖形拼成一個7×4的長方形（可以重複使用某些圖形）。

　　問：最多可以用這7種圖形中的幾種圖形？

　　解析：用其中的6種不同的圖形方塊可以拼成7×4的長方形，方法很多，如圖①，僅展示一種。

　　下面證明不能7種圖形方塊都用一次。将7×4的長方形的28個小方格黑白相間染色，則如圖②所示，黑、白格各14個。若7×4的長方形能用7個不同的方塊拼成，則每個方塊用到一次且隻用一次，其中品字形如圖③，必占3個黑格1個白格或3個白格1個黑格，其餘6種方塊各占2個黑格2個白格7個不同的方塊占據的黑格總數、白格總數都是奇數個，不會等于14，矛盾。因此，不存在7種圖形方塊每個各用一次拼成7×4的長方形的方法。

　　所以，要拼成7×4的長方形，最多可以用這7種圖形中的6種。

　　再見，俄羅斯方塊。2014年的最後一天，Game Boy版《俄羅斯方塊》從任天堂商店中下架，這意味着，這款經典遊戲從此退出曆史舞台。

　　自1986年誕生于蘇聯，《俄羅斯方塊》迅速風靡世界，并獲得9項吉尼斯世界紀錄。

　　《俄羅斯方塊》留給每代人不一樣的回憶。

　　例2．如圖，棋子馬能否從圖中的位置出發，不重複、不遺漏地走遍半張棋盤（即每一點都走到，并且隻走一次），并回到出發點？如果能，請給出走法；若不能，請解釋其中的原因。

　　解析：馬走日字，每走一步有多種選擇，走完半張棋盤可能出現的情況十分複雜，故從實際操作入手較困難。

　　将半張棋盤中的45個格點進行黑白相間染色（如圖），由于棋盤中共有45個格點，黑點數與白點數不可能相等，圖中共有22個O和23個●，因為馬走日字，每步隻能從O跳到●，或由●跳到O，所以馬從某點跳到同色的點（指O或●），要跳偶數步；跳到不同色的點，要跳奇數步，現在馬在點，要跳回這一點，應跳偶數步，可是棋盤上共有點23 22=45（個），不可能做到不重複地走遍所有地點後回到出發點。

　　例3．材料一：中國象棋體現了我國古人的智慧和傳統文化的精髓．中國象棋棋盤中蘊含着平面直角坐标系．如圖是中國象棋棋盤的一半，棋子馬走的規則是每步走日字形．例如：圖中馬所在的位置可以直接走到點A、B處；

　　材料二：一動點沿着數軸向右平移3個單位，再向左平移2個單位，相當于向右平移1個單位，用實數加法表示為3 （﹣2）＝1．若坐标平面上的點作如下平移：沿x軸方向平移的數量為a（向右為正，向左為負，平移|a|個單位），沿y軸方向平移的數量為b（向上為正，向下為負，平移|b|個單位），則把有序數對{a，b}叫做這一平移的平移量．平移量{a，b}與平移量{c，d}的加法運算法則為{a，b} {c，d}＝{a c，b d}．

　　下面在圖中的象棋棋盤上建立直角坐标系，設帥位于點（0，0），相位于點（4，2）．

　　請解決下列問題：

　　（1）圖中馬所在的點的坐标為______．

　　（2）根據材料一和材料二，在整個直角坐标系中，不是棋子馬的一步平移量的是_____．（可多選，填選項前的字母）

　　A．{1，2}B．{﹣2，1}C．{1，﹣1}D．{﹣2，﹣1}E．{3，﹣1}

　　（3）設馬的初始位置如圖中所示，如果現在命令馬每一步隻能向右和向上前進（例如圖中的馬隻能走到點A、B處），在整個坐标系中，試問：

　　①馬能否走到點C？答：_____；（填能或不能）

　　②馬能否走到點（2018，2019）和點（2020，2021）？若能，則需要幾步？為什麼？若不能，請說明理由．

　　【解析】：（1）由帥位于點（0，0），相位于點（4，2），

　　∴馬坐标為（﹣3，0）；

　　（2）由于馬走日，因此馬的平移向量左或右平移1，則相應的上或下平移2；平移向量左或右平移2，則相應的上或下平移1，

　　∴A、B、D可以是馬的一步平移量，

　　故答案為C、E．

　　（3）①馬可以先走到A，再走到C；也可以先走到B，再走到C；

　　故答案為能；

　　②由題意可知馬的走法隻有兩種平移量（2，1）或（1，2），

　　設馬沿着平移量（2，1）移動n次，沿着平移量（1，2）移動m次，

　　則馬沿着平移量（2n m，2m n）移動，

　　如圖馬的初始位置是（﹣3，0），

　　走到點（2018，2019）時，向右移動2021，馬向上移動2019，

　　∴2n m＝2021，2m n＝2019，

　　∴m＝2017/3（不合題意），

　　∴馬走不到（2018，2019）；

　　走到點（2020，2021）時，向右移動2023，馬向上移動2021，

　　∴2n m＝2023，2m n＝2021，

　　∴m＝673，n＝675，

　　∴能走到點（2020，2021），

　　需要沿着平移量（2，1）移動675次，沿着平移量（1，2）移動673次．

　　例4.證明：任何6個人中，必有3個人互相認識，或者有3個人互相不認識（匈牙利數學競賽題）

　　【解析】：考慮其中一個點，設為A，從A點連出的5條線段染了兩種顔色，則必有三條線段同色，設AB.AC、AD同為紅色，若BC，CD，BD三線段中有一條紅色，則必出現三邊都是紅色的三角形，若BC、CD、BD三條線段中沒有一條紅色，則這條三線段均為藍色，這時△BCD就是一個三邊都是藍色的三角形，因而必出現三邊都是同色的三角形.

　　所以世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識.

　　變式1．已知△ABC内有n個點（無三點共線），連同A、B、C共n 3個點．以這些點為頂點把△ABC分成若幹個互不重疊的小三角形．現把A，B，C分别染成紅色、藍色、黃色，而其餘n個點，每個點任意染上紅、藍、黃三色之一．求證：三頂點都不同色的小三角形的總數必是奇數．

　　【解析】利用賦值法解答：

　　證明：把這些小三角形的邊進行賦值：邊的端點同色的，賦值0；邊的端點不同色的，賦值1．于是每個小三角形的三邊之和有如下三種情形：

　　（1）三頂點都不同色的，和為3；

　　（2）恰有兩頂點同色的，和為2；

　　（3）三頂點都同色的，和為0．

　　設所有小三角形的邊賦值之和為S，上述三種情形的三類小三角形的個數分别為a，b，c，于是S＝3a 2b 0c＝3a 2b．而注意到所有小三角形的邊的賦值之和中，除了AB，BC，CA邊外，其餘的邊都被算了兩次，所以它們賦值之和為偶數，再加上AB，BC，CA三邊賦值之和為3，所以S是奇數．

　　因此a是奇數．即三頂點都不同色的小三角形總數為奇數．

　　變式2．設S為平面上的一個有限點集（點數≥5），其中若幹點染上紅色，其餘的點染上藍色，設任何3個及3個以上的同色的點不共線．求證存在一個三角形，使得

　　（1）它的3個頂點塗有相同顔色；

　　（2）這三角形至少有一邊上不包含另一種顔色的點．

　　【解析】本題主要考查了染色問題以及反證法的應用，利用反證法證明得出是解題關鍵．

　　證明：（1）∵S為平面上的一個有限點集（點數≥5），其中若幹點染上紅色，其餘的點染上藍色，任何3個及3個以上的同色的點不共線，

　　∴對于任意的五點塗上紅色、藍色，則必有三點同色，結論（1）成立．

　　（2）若結論（2）不成立，可取頂點同色的三角形中面積最小的一個，

　　因為隻有有限個三角形，這是可以做到的，記為△ABC，

　　由于此三角形的每一邊上都有異色點，記為A1，B1，C1，則△A1B1C1也是同色三角形，且面積小于△ABC的面積，這與△ABC面積的最小性矛盾；故（2）成立．

　　染色問題是數奧解題中的難點，這類問題初看起來好像無從着手，其實隻要認真思考問題也很容易解決，拿到一道題先認真觀察，看這個題的突破點．什麼是染色問題的突破點呢？那就是找染色區域中的一個最多，這個最多是指一個區域，其他區域與它連接的最多．

　　例4是拉姆賽理論的簡單化、具體化。拉姆賽理論是一個高深的數學邏輯問題，26歲就去世的天才數學家拉姆塞提出，它的核心内容是任何一個足夠大的結構中必定包含有一個給定大小的規則的結構、世界上完全的無序是不可能存在的

　　染色問題的解決和染色方法的運用，常與構造性、奇偶分析、反證法、抽屜原理等方法聯系，需要的不是較多的數學知識，而是缜密的思維和較強的推理能力．

　　國際象棋棋盤中，交替染色是最直觀最常見的染色模型。通過對對象的染色，對象間隐含關系變得明朗。當基本的交錯染色方法失效時，尋找新的染色方法是解決問題的關鍵。

　　如俄羅斯數學家羅巴切夫斯基說：任何數學分支，無論怎樣抽象，總有一天可被應用于觀察世界的各種現象。

　　拉姆賽（1903-1990），英國劍橋大學的一位年輕數學家和邏輯學家，著名的經濟學家，他提出了著名的拉姆賽理論。

　　數學遊戲促進了數學知識的傳播，深入淺出、迷人有趣是數學遊戲的基本特征，承載着樸素的數學原理、思想方法，在人們相互傳誦遊戲的過程中，相關的數學知識、數學思想方法傳送、滋養着莘莘學子。火柴棒遊戲、七巧闆拼圖遊戲、斐波那契兔子問題、24點遊戲、剪紙活動等經典數學遊戲，曆經千年而不衰，成為傳播數學思想方法的重要載體。

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