如果我們把兩個向量相乘，得到另一個向量它垂直于兩個原向量。 這個操作就是求叉積。 我們可以用叉積求出垂直于兩個給定向量的方向，求出兩個向量張成的面積，确定兩個向量是否正交，等等。 那麼，什麼是叉積呢?

兩個向量的叉積得到一個垂直于由兩個原向量組成的平面的向量。

首先，我們可以求兩個三維向量的叉積! 這是對兩個三維向量進行的運算結果是第三個向量垂直于兩個原始向量，其大小是第一個向量的大小乘以第二個向量的大小再乘以兩個向量夾角的正弦。

我們回顧一下向量,請參考向量的基礎知識

在上圖中，我們有一個向量v→。 這個矢量的大小就是它的長度，矢量的方向已經顯示出來了。現在，如果我們求兩個向量a→和b→的叉積，其結果将是c→，如下圖所示:

注意，當求叉積時，你可能會注意到兩個垂直于兩個原向量的方向。 向上和向下。 為了找出外積的方向，我們要用到右手定則。

用右手法則，你握住右手，食指指向第一個矢量的方向。然後，把中指轉向第二個矢量的方向。舉起你的大拇指。你的拇指現在應該指向叉乘向量的方向。

請注意，如果你改變向量的順序(切換a→和b→)，叉積向量的方向将相反。 因此，叉積運算是不可交換的; 順序很重要!

叉積的公式

正如我們提到的，外積是定義在三維向量上的。 我們可以把向量寫成分量的形式，例如，取向量a→，

x分量是a1, y分量是a2, z分量是a3。 現在，讓我們考慮如下所示的兩個向量:

a→和b→的叉積由公式給出:

這個公式記起來有點乏味。 但是不要擔心，這個公式來自于3×3矩陣的行列式。

回想一下2×2矩陣和3×3矩陣的行列式公式(請參考行列式的基本概念）。

對于二階方陣:

行列式的值為：

對于一個3階的方陣：

行列式的值為：

現在, 我們可以把向量a→和b→寫成3×3矩陣的行列式形式，如下所示:

将其打開分離：

這就是我們剛才展示的公式!

注意:向量i→，j→和k→是标準基向量，它們必須按照給定的順序出現。

單位向量的叉積有：

我們來看一個求向量a和向量b，向量b和向量a的叉積的例子， 若：

求axb, 和bxa

先求axb，

我們将把這兩個向量寫成3×3矩陣的形式，并用已知的行列式公式計算外積。 步驟如下:

我們再求bxa:

注意，改變向量在叉乘中的順序改變了所有符号! 這意味着這兩個叉乘在方向上是相反的! 我們在上面學習右手法則時就注意到了這個事實!

向量叉積的一個重要應用是給定兩個共點向量，求其形成的平行四邊形面積。

首先我們要證明向量叉積的矢量長度滿足以下公式：

現在我們證明這個公式，假設向量u， 和v，

讓 u = 〈 u1, u2, u3 〉 ， v = 〈 v1, v2, v3 〉 ，它們的夾角為θ，那麼：

所以：

因此有兩個向量的叉積的模（長度）公式：

根據向量叉積定義，從上圖可以看出，平行四邊形的面積為：

若向量a, b分别給出， 那麼它們所形成的平行四邊形面積見下面的計算：

根據上面的推導，可知a, b的矢量積的模即為面積。

矢量的點積與叉積的混合積可以計算棱柱的體積， 如圖：

此外，利用矢量積的叉乘，若夾角為0， 那麼sinθ=0為零，即：

可以得出a, b平行的條件：

我們可以推出：

也就是：

由此推出兩個向量平行的充分必要條件是：

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