分而治之

　　【閱讀與思考】

　　1.在解決某些數學問題的時候，需要将問題所涉及的所有對象按一定的标準，分成若幹類，然後逐類讨論，才能得出正确的解答，這種解題方法稱為分類讨論法.運用分類讨論法解題的關鍵是如何正确進行分類.正确分類的标準是:對所讨論的全體分類要“既不重複，又不遺漏”；在同一次讨論中隻能按所确定的一個标準進行；對于多級讨論，應逐級進行.

　　2.初中數學分類讨論問題的常見形式有:

　　(1)一些定義、定理、公式和法則有範圍或條件的限制，在使用過程中必須讨論；

　　(2)題設條件中含有變量或參數時，必須根據變量或參數的不同取值進行讨論；

　　(3)一些問題的圖形位置或形狀不确定時，隻有通過讨論，才能保證結論的完整性；

　　(4)一些問題的條件沒有明确給出或結論不唯一時，隻有通過讨論，才能保證解答的嚴密性；

　　(5)對于自然數問題，有時須按剩餘類分類讨論.

　　【例題與求解】

　　【解析】

　　1.此題注意兩種情況:(1)圓與AB相切時；(2)點A在圓内部，點B在圓上或圓外時.

　　2.根據勾股定理以及直角三角形的面積計算出其斜邊上的高，再根據位置關系與數量之間的聯系進行求解.

　　【點評】

　　本題利用的知識點:勾股定理和垂線段最短的定理；直角三角形的面積公式求解；直線與圓的位置關系與數量之間的聯系.

　　【解析】

　　解此方程首先須脫去方程左邊的絕對值符号，這就應對x的取值範圍進行分類讨論，分類标準是應使x-2及x 3各自保持正負性不變(即x-2，x 3在分類中都不能既取正值又取負值)，這樣才能根據絕對值定義去絕對值符号.

　　【解析】

　　解答本題的關鍵在于分兩種情況讨論:①當k=6或9；②當k≠6且k≠9.

　　【點評】

　　本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程.

　　【點評】

　　本題比較複雜，綜合考查了相似三角形及直角三角形的性質，難度較大.

　　【A級能力訓練】

　　【點評】

　　本題考查了根與系數的關系，屬于基礎題，關鍵是把a，b看成方程的兩個根後再根據根與系數的關系解題.

　　解題思路：分高AD在△ABC内部或外部兩種情況.

　　【解析】

　　畫出圖形可知有兩種情況:∠BAC=∠BAD ∠CAD和∠BAC=∠BAD-∠CAD.

　　【點評】

　　本題考查的是三角形内角和定理及高線的概念:高線可能在三角形内部，也可能在三角形的外部.注意本題要分兩種情況讨論.

　　解法一：

　　【解析】

　　先在直角坐标平面内描出A、B兩點,連接AB，因題設中未指明△APB的哪個角是直角，故應分别就∠A、∠B、∠P為直角來讨論，設點P(0，x)，運用幾何知識建立x的方程.即可求P的坐标.

　　【點評】

　　本題考查了平面直角坐标系中勾股定理的運用，考查了分類讨論思想，本題中根據勾股定理計算P點的縱坐标x是解題的關鍵.

　　解法二：

　　【解析】

　　△APB為直角三角形，A，B，P都可為直角點，A，B可各取一個，關鍵是P可确定幾個.畫圖後求解即可.

　　【點評】

　　本題考查平面直角坐标系内點的位置關系，以及考查了一元二次方程的解的情況.

　　【解析】

　　在使用分類思想解數學題時，要根據已知條件和題意的要求，分不同的情況作出符合題意的解答.

　　分類讨論一般應遵循以下原則:

　　(1)對問題中的某些條件進行分類，要遵循同一标準；(2)分類要完整，不重複，不遺漏；(3)有時分類并不是一次完成，還需進行逐級分類，對于不同級的分類，其分類标準一定要統一.

　　【點評】

　　本題綜合考查了圓周角定理、三角形的面積公式及特殊角的三角函數值.解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解.

　　【解析】

　　本題主要應用兩三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可.

　　【點評】

　　此題考查了相似三角形的判定.

　　【解析】

　　【點評】

　　此題主要考查了利用一元二次方程的判别式判定方程的根的情況，其中判别式若△0，則方程有兩個不相等的實數根；若△=0，則方程有兩個相等的實數根；若△0，則方程沒有實數根.

　　【解析】

　　先找出底為2，高為1的所有符合條件的普通平行四邊形，注意變換位置；再找出長為2，寬為1的所有矩形；接下來找出邊長為√2的正方形，據此即可得到答案.

　　【解析】

　　利用直接開平方法解方程對(1)進行判斷；根據因式分解法解方程對(2)進行判斷；根據分類讨論和勾股定理對(3)進行判斷.

　　【點評】

　　本題考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右邊變形為0，然後把方程左邊進行因式分解，這樣把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解.

　　【B級能力訓練】

　　【點評】

　　此題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質，銳角三角函數定義，以及圓内接四邊形的性質，是一道綜合性較強的題，本題有兩解，學生做題時注意不要漏解.

　　【解析】

　　分兩種情況進行分析，△DAP~△CBP或△DAP~△PBC，從而可求得點P的個數.

　　【點評】

　　此題主要考查相似三角形的判定及梯形的性質的綜合運用.

　　【點評】

　　此題考查根與系數問題，将菱形的性質與一元二次方程根與系數的關系，以及代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.

　　【點評】

　　本題主要考查反比例函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質，解答(2)問的函數解析式需要分段求，此題難度不大.

　　【點評】

　　本題主要考查反比例函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質，解答(2)問的函數解析式需要分段求，此題難度不大.

　　【解析】

　　(1)結合題意，畫出相應圖形幫助解答.要分兩種情況來求y關于x的函數表達式:①點P在邊CA上運動時y與x的函數關系式；②點P在邊AB上運動時y與x的函數關系式；

　　(2)依題意，y=1/4*S△ABC求出x的值即可.

　　【點評】

　　本題主要考查對相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理，銳角三角函數的定義，解一元一次方程等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵.

　　【解析】

　　(1)首先求出頂點坐标，再代入直線解析式，分析得出二次函數解析式，利用相似△BPE~△BAF，得出m的值；(2)假設△ABC為等腰三角形，根據等腰三角形的性質分析得出C點的坐标，從而求出解析式.

　　【點評】

　　此題主要考查了中心對稱的性質，以及二次函數的對稱性和等腰三角形的判定，題目綜合性較強，注意從已知入手細心分析.

　　【點評】

　　本題考查完全平方數的知識，綜合性較強，難度較大，注意在解決多項式的系數的和、差以及其奇偶、整問題一般思路都是用特殊值法.

　　【點評】

　　本題主要考查了推理與論證，關鍵是讀懂題意，從中獲取有用的信息.

　　【解析】

　　假設出三隊人數，由甲隊最少，丙隊最多得出，甲的取值範圍，再結合比賽場數确定符合題意的人數.

　　【點評】

　　此題主要考查了三元一次方程的解法，以及整數解的有關知識，題目比較簡單.

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