結論：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，

則BC=AB=AC。

圖1

應用：

例1、（2020年梁子湖模拟試題）如圖2，平行四邊形ABCD中，DB=AB，∠ABD=30º，将平行四邊形ABCD繞點A旋轉至平行四邊形AMNE的位置，使點E落在BD上，ME交AB于點O，則的值是（）

A. B.

C. D.

圖2

分析：∵DB=AB，∠ABD=30º

∴∠ADB=75º

由旋轉知，AD=AE

∴∠DAE=180º-75º-75º=30º

即旋轉角為30º

∴∠OAM=30º

又∵∠AME=∠ABD=30º

∴∠A0M=120º

設A0=1，則AM=

∴AB=，BO=

∴

故選擇（B）

例2、如圖3，在△ABC中，AC=

2，∠ABC=45º，∠BAC

=15º，将△ACB沿直線AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD。過點A作AE，使∠DAE=∠DAC，與CD的延長線交于點E，連接BE，則線段BE的長為（）

A. B. 3 C. D.4

圖3

分析：如圖3，

∵∠ABC=45º，∠BAC=15º

∴∠ACB=120º

由折疊知，

∠ACD=120º，∠DAC=15º

∴∠DAE=∠DAC=15º

∴∠CAE=30º

∴△ACE是頂角為120º的等腰三角形

∴AC=CE，AE==

∵BC=BC

∠BCE=∠BCA=120º

∴△BCE≌△BCA

∴△ABE是等腰直角三角形

∴AE=BE

∴BE=

故選擇（C）

例3、（2019年自貢中考數學試題）如圖4，在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cos(α β)= ▲

分析：如圖5，連接DE，則∠EDC=∠α=30º，∴△ECD是頂角為120º的等腰三角形，△ADE是Rt△，設AB=1

∴AE=2，DE=，AD=

∴cos(α β)=

例4、（2019年梧州中考數學試題）如圖6，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60º，将菱形ABCD繞點A逆時針旋轉後，得到菱形AEFG。點E在AC上，EF與CD交于點P，則DP的長是 ▲

圖6

分析：由菱形性質知，△ADC是頂角為120º的等腰三角形，△PCE是含30º角的直角三角形∴AC==

EC=AC-AE=

∴PE=

PC=PE=

∴DP=

例5、（2017年安徽中考數學試題）在三角形紙片ABC中，∠A=90º，∠C=30º，AC=30cm.将該紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為BD（如圖7），剪去△CDE後得到雙層△BDE（如圖8），再沿着過△BDE某頂點的直線将雙層三角形剪開，使得展開後的平面圖形中有一個是平行四邊形.則所得平行四邊形的周長為▲ cm.

分析：①如圖9，取BD的中點F，連接EF，則所得的四邊形是平行四邊形，且是菱形。因為AC=30cm，∠C=30º，所以AD=DE=10cm，故所得平行四邊形的周長為40cm。

②如圖10，作BD的垂直平分線交BE于N，連接DN，則所得四邊形是平行四邊形，且是菱形，而△BDN是頂角為120º的等腰三角形，所以BD=DN，則DN=，故所得平行四邊形的周長為。

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