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自然數的平方和公式的推導

生活更新时间:2025-11-09 14:55:58

我們知道以下前n項自然數平方和的計算公式：

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）1

有很多關于這個公式的證明方法，比如數學歸納法、待定系數法、裂項相消法等。今天介紹兩個數形結合的方法。

方法一

我們知道前n項自然數的和

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）2

于是

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）3

這是巧合嗎？

把左邊平方和拆開，乘法拆成加法，寫成

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）4

第一行1個數，第二行2個數，第三行3個數，...，第n行n個數，這樣一共（1 2 3 ... n)=n(n 1)/2 個數相加。

簡記為一張三角形圖：

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）5

逆時針旋轉120°，得到

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）6

再逆時針旋轉120°，又得到

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）7

對上面三個三角形，相同位置處的三個數對應相加，其和恰為定值（2n 1)，即：

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）8

于是

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）9

方法二

立體的看，平方和就是下面所有方塊的體積和：

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）10

堆起來，就是

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）11

類似地，取三堆相同的

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）12

然後再堆起來

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）13

最上面一層的方塊，從中間切開，拼到缺的那部分，就得到一個三邊分别為n 1/2,n,n 1的長方體：

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）14

于是總體積

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）15

當然，第二種方法也可以取6堆，直接拼成一個三邊分别為2n 1,n,n 1的長方體。

殊途同歸。

最後附贈一個自然數立方和的圖解：

自然數的平方和公式的推導（圖解自然數的平方和公式）16

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