由于雙紐線關于兩坐标軸均對稱,用兩次奇偶對稱性∫|y|ds=4∫yds積分區域為第一象限部分，下面用極坐标雙紐線極坐标方程為：r⁴=a²(r²cos²θ-r²sin²θ)，即：r²=a²cos2θ兩邊對θ求導得：2rr'=-2a²sin2θ，即：r'=-(a²/r)sin2θ兩邊平方：(r')²=(a⁴/r²)sin²2θ，将r²=a²cos2θ代入得：(r')²=a²sin²2θ/cos2θds=√(r²+(r')²)dθ=√(a²cos2θ+a²sin²2θ/cos2θ)dθ=a√((cos²2θ+sin²2θ)/cos2θ)dθ=a√(1/cos2θ)dθy=rsinθ=a√(cos2θ)sinθ∫|y|ds=4∫yds積分區域為第一象限部分=4∫[0--->π/4]a√(cos2θ)sinθ*a√(1/cos2θ)dθ=4a²∫[0--->π/4]sinθdθ=-4a²cosθ|[0--->π/4]=4a²(1-√2/2)=2a²(2-√2)。
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