關于無限循環小數就是分數，這是初中生就知道的内容，但是弄清楚為什麼無限循環小數就是分數的人并不多，現在就來證明兩個命題，在證明命題之前，先明确一下有理數的定義，用分數來定義有理數，這時候證明兩個命題：
1、有理數都能表示成無限循環小數的形式（有限小數可看成0的循環）。
2、若一個數能表示成無限循環小數，則它是有理數。
兩個命題互為逆命題。先來證明第一個。由于我用的分數定義的有理數，則有理數能表示成既約分數，設它為p/q, p是整數，q是正整數，我們用十進制小數表示它，本質上是做除法。
p是一個正整數，則 x 能用分數表示
既然證明了“若一個數能表示成無限循環小數，則它是有理數”這個命題，根據原命題與逆否命題等價，可以得到“無理數不能表示成無限循環小數”，也就是說，無理數隻能表示成無限不循環小數，比如根号二= 1.4142135623731 …… ，小數位數字的變化完全沒有規律，顯得非常“無理”，“無理數”名稱就是這樣來的。關于無理數的連分式表示可能大部分同學在整個中學數學學習生涯中沒有接觸過連分式，但是在數學的發展曆程中，很多數學家研究過連分式。很多同學沒有專門學過連分式理論，但是可能遇見過關于連分式的習題，例如：
我們記這個數為 x ，則
我們能看到如果根号二用連分式表示，它看起來不再“無理”了，因為我完全能夠推斷出一直寫下去是什麼樣的形式。如果一個數 a 表示成
序列 a0a1......完全确定了這個連分式，根号二的連分式表式相比無限不循環小數表示更能展現它的特征，畢竟用連分式表示我們能看出形式上的某些規律。
理論上講任何無理數都能表示成連分式的形式，例如要表示成上式的形式，操作很簡單，先把整數部分分離出來，然後小數部分倒過來，繼續将整數部分分離出來，這樣無限做下去，但連分式的表示不是唯一的，例如
看起來序列沒什麼規律可言，另一種寫法
這樣寫又瞬間覺得很有規律了，下面是關于自然對數e:
序列是｛1,1,2,1,1,4,1,1,6...｝
黃金分割數用連分式表示就更有規律：
連分數本質上就是無窮級數，無窮級數在大學時數學分析會涉及到。這就是為什麼一個數的連分式有多種寫法，因為一個數的無窮級數有多種寫法呀。
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