說到數列，我想大家都已經知道了什麼是數列，從高中就已經接觸到了，當然了，高中對數列的認識并沒有那麼深，今天我們從數列極限開始，逐步更加深入的了解一下數列。

數列極限定義：

設{Xn}為一數列，如果存在一個實數a，對于∀ε>0，∃N∈N ，使得當n＞N時，有|Xn-a|＜ε，那麼就稱為數列{Xn}收斂于a，實數a稱為數列{Xn}的極限，如果實數a不存在，就稱數列發散。

有了數列極限的定義，我們很容易得到下面的3個結論：

①、收斂數列的極限必定唯一。

②、收斂數列必定有界。

③、設數列{Xn}，{Yn}是兩個收斂數列，若{Xn}收斂于a，{Yn}收斂于b，且a＜b，那麼∃N∈N ，當n＞N時，就有Xn＜Yn。

關于上面結論很容易證明，下面我們将簡單證明一下。

證明①：

我們設數列{Xn}有兩個極限，分别為a、b，并設a＜b，并取ε＝(b-a)/2，根據數列極限定義我們分别得到∃N∈N ，當n＞N時，有| Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同樣也能得到，∃N'∈N ，當n＞N'時，有| Xn-b|＜ε＝(b-a)/2，我們取n＞max{N，N'}時，就得到上面都成立，這樣我們就會分别得到Xn＜(b a)/2與Xn＞(b a)/2，然而這是不可能的，因此可得a=b。

證明②：

設數列{Xn}收斂于a，并取ε=1，那麼根據數列極限定義，有∃N∈N ，當n＞N時，就有| Xn-a|＜1，得到a-1＜Xn＜a 1，而對于前面有限項，必有最大項于最小項，因此由上面的讨論知，存在正數M，使得對于任意的n，有|Xn|＜M，因此數列有界。

證明③：

取ε＝(b-a)/2，根據數列極限定義我們分别得到∃N'∈N ，當n＞N'時，有| Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同樣也能得到，∃N''∈N ，當n＞N''時，有| Yn-b|＜ε＝(b-a)/2，我們取N=max{N'，N''}時，就得到上面都成立，這樣我們就得到當n＞N時，就有Xn＜(b a)/2與Yn＞(b a)/2，即得證。

由上面的結論③我們還可以推得常用的性質，把上面③的數列{Xn}與{Yn}分别當做常數數列0，例如，把數列{Xn}作為常數項0數列時，我們得到，設{Yn}收斂于b，且0＜b，那麼∃N∈N ，當n＞N時，就有Yn＞0。

當然了，我們由③還能得到夾逼定理。

夾逼定理：

設有三個數列{Xn}、{Yn}、{Zn}，∃N∈N ，當n＞N時，成立Xn≤Yn≤Zn，且數列{Xn}、{Zn}都收斂于a，那麼數列{Yn}也收斂于a。

這個定理的證明隻需要上面的結論③就可以證明，讀到此處的讀者可以自己證明一下。

有了數列的這些性質，我們下面将介紹閉區間套定理以及有限覆蓋定理。希望感興趣的可以關注一下哦。

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