1.離散型随機變量的均值與方差

一般地,若離散型随機變量X可能取得不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則下表稱為随機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列.

E(X)=x1p1 x2p2 … xipi … xnpn為随機變量X的均值或數學期望.它反映了離散型随機變量取值的平均水平.

稱D(X)=[xi-E(X)]2pi為随機變量X的方差,它刻畫了随機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,其算術平方根為随機變量X的标準差.

注意：随機變量的均值，方差實常數，它們不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值、方差是随機變量，它們随着樣本的不同而變化.

2.均值與方差的性質

若Y=aX b,其中a,b是常數,X是随機變量,則均值的性質:(1)E(k)=k(k為常數);(2)E(aX b)=aE(X) b;(3)E(X1 X2)=E(X1) E(X2);(4)若X1,X2相互獨立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).

3.期望與方差的一般計算步驟

(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取得值;

(2)求X取各個值的概率,寫出分布列;

(3)根據分布列,正确運用期望與方差的定義或公式進行計算.

4.利用期望與方差進行決策

利用随機變量的期望與方差可以幫助我們作出科學的決策,其中随機變量ξ的期望的意義在于描述随機變量的平均程度,而方差則描述了随機變量穩定與波動或集中與分散的狀況.品種的優劣、儀器的好壞、預報的準确與否、機器的性能好壞等很多指标都與這兩個特征量有關.

(1)若我們希望實際的平均水平較理想時,則先求随機變量ξ1、ξ2的期望,當E(ξ1)=E(ξ2)時,不應誤認為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩個随機變量的偏離程度,偏離程度小的更好.

(2)若我們希望比較穩定時,應先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.

(3)若沒有對平均水平或者穩定性有明确要求時,一般先計算期望,若相等,則由方差來确定哪一個更好.若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時,應根據不同選擇給出不同的結論,即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩定.

經典例題：[2018浙江卷]

設0〈p〈1，則随機變量ξ的分布列如下表，則當p在（0，1）内增大時，（ ）

A. D(ξ)減小

B. D(ξ)增大

C. D(ξ)先減小後增大

D. D(ξ)先增大後減小

解題思路：用離散型随機變量期望公式與方差公式解題。

解析：由題意得

∴D(ξ)在（0，1/2）上遞增，在（1/2，1）上遞減，即當p在（0，1）内增大時，D(ξ)先增大後減小，故選D。

答案：D

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