把零星散落的代數和算術公理彙集到一起，抟成一粒數的種子，賦予它生命力，用理性澆灌，用智慧滋養，它會迅速生長，順應天道倫常，最先長出來的必定是自然數，那我們一起來看看自然數是怎麼長出來的：

1＝11＋1＝22＋1＝33＋1＝44＋1＝5…＝…

首先明确在定義自然數之前，0、1和∞是三個原始數，由公理給出，一開始就有的，不需要再讨論，隻管使用。從1開始，1是已知，“＋”是已知，反複對前一個數做“＋1”運算可以不斷得出新的數。根據有序公理1＞0，等身公理x＝x，可知1＋1＞1，即對于任意一個這樣的數n，“＋1”所得到的新數n＋1，皆不同于原來的數n，并且n＋1＞n，于是我們對這些不同的新數分别進行命名：

1是1；1＋1的結果稱為2；2＋1的結果稱為3；3＋1的結果稱為4；4＋1的結果稱為5；……

1由公理得到，2由1得到，3由2得到，4由3得到，5由4得到，…，每個新數都基于前一個數遞推而得，隻要最開始的1沒問題，加法“＋”沒問題，然後令“＋1”運算進行∞次，便得到∞個新數，隻要數∞也沒問題，這無窮個新數必然全都沒問題，它們共同遵循一個簡單而嚴密的遞推鍊條，隻要第一個數立起來，後面所有的數都立起來，猶如一列反向的多米諾骨牌。我們将其統稱為自然數，于是确定且唯一的自然數就從未知領域脫身而出變為已知。

這種定義方式稱為自然數的算術定義或者加法定義。千萬注意，自然數有無窮多個是已知的，無須證明，因為數∞由算術公理已然給定，拿來用便是，我們在定義自然數時一并将自然數定義為無窮個。若是沒有數∞概念，如何定義或者說明自然數有無窮多個都成為一件難事，但西方數學從來就沒有，他們想出了另一個概念——“後繼”。

那數∞本身是不是自然數?∞不是自然數，自然數的本質屬性是對于任意一個自然數n，都有n＋1＞n，而∞＋1＝∞，所以∞不能歸為自然數。1歸為自然數肯定沒問題，那0可不可以歸為自然數呢?可以的，因為0＋1＞0，自然數究竟從1開始還是從0開始，看具體情況，如果是讨論曆史上數字的發展曆程，自然數從1開始比較切合史實；如果是建構數字的演繹理論，自然數從0開始似乎也有它的道理。這裡取前者，将所有自然數按先後順序排列即得：

1，2，3，4，5，…1＜2＜3＜4＜5＜…

第一列是自然數的基數形式，第二列是自然數的序數形式，基數與序數不是兩個數，而是一個數，是同一個數的不同表現，基數表現數的大小，寓于運算；序數表現數的先後，見諸序列。可以說自然數是我們一個個算出來的，也可以說是我們排列出來的。大小有别、前後有序的前提是有序公理，1＞0，這一條簡單到不值一提，但沒有這一條數的大小和先後就出不來。1＋1＝2，我們憑什麼認為2＞1，而不是1＞2，就因為1＞0，兩邊＋1，必然是2＞1。相信很多人小時候可能都問過父母或者老師，為什麼1＋1＝2呢?嚴格來說沒有原因，隻是按照運算規則1＋1一定不等于原來的1，是比1大的一個新數，人們共同約定将這個新數叫作2，如此而已。

定義自然數的過程是一個由已知推導未知的過程，在此應當确立一條基本原則，對什麼是有效的推導、什麼是無效的推導做出适當區分：由已知推導已知、由已知推導未知是有效的推導；反之，由未知推導未知、由未知推導已知是無效的推導。這種區分有助于我們判定結論的可靠性。

由已知推導已知，最經典的案例是邏輯學的基本規律同一律，A是A（A→A），前一個A為前提，後一個A為結論，由A推導出A，這個結論颠撲不破、萬古不枯；1是1，2是2，擱哪都千真萬确。但是這樣的推導不能給我們帶來新知，要想獲得新知我們必須由已知推導未知。1是已知，“＋”是已知，那麼1＋1＝2，則是一個由已知推導未知的過程，2在我們知道0、1和∞之前，我們是不知道的，它屬于未知。此過程中的前提、以及由前提推導結論的方法确切可知，從而保證結論也确切可知，2即是我們基于已知經由邏輯推導收獲的新知。1＋1＝?，遵循同樣的規則，無論是誰在何種時代，都必然得出一緻的結果，這種一緻性正是數學所追求的永恒之魅力所在。

自然數是人類最先認知并熟練掌握的一列數，緣其簡單，簡單到聰明的鳥兒都能區分123，更别說人了，幾乎生來就會。随着人們發現和使用的數越來越多、越來越豐富，人群中那些對數字敏感并抱以好奇心的人自然會想自然會問數是怎麼來的。定義自然數就是試圖從理論上回答自然數是怎麼來的，前面的推導已經回答，基于三個已知數0、1和∞，經由統一的方法“＋1”，重複任意次得到任意個自然數，重複無窮次得到無窮個自然數，無窮多的自然數意味着所有的自然數。一個定義而不是一個一個枚舉，使我們将無窮無盡的所有的自然數收入囊中，可見理性力量的強大。

自然數是基于0、1和∞之後産生的，0、1和∞是原始數，自然數則是生成數。由此可以說自然數是人創造的，不是上帝創造的，上帝隻需要創造三個原始數0、1和∞，其他數都是人造物。如果非要說自然數是上帝創造的，則有不尊重他老人家智商之嫌。試想上帝是全知全能全善的，全知，他知道創造世界的所有知識，如果說創造世界有多種方式，那麼他也應該是全智的，有足夠的智慧選擇其中最簡單一種方式創造世界。

定義自然數可以有多種方法，基于算術公理，通過加法運算定義自然數隻是其中的一種，為了加深對自然數的理解，我們有必要了解其他的論述或者方法，比如早期的阿拉伯數學家花拉子米在《算法》（約公元830年）一書中給出的直觀性描述：

另外，“一”是任何數的根源，所以它跟其他的數不同。它之所以是數的根源，是因為任何數都由它來定義。它之所以跟其他的數不同，是因為它是由它自己，即無任何數的情況下獨立确定。而其他的任何數不可能不用“一”來定義。因為當你說出“一”時，它不需要任何數來定義自己，而其他數則需要“一”，于是，在沒有“一”的前提下，你說不出“二”或“三”，因此這些“一”的和不是其他的東西而是數，所以當我們在沒有“一”的前提下，說不出“二”或“三”，這不是關于語言，而是對于事情的本質而言。如果你去掉“一”，則“二”或“三”也不可能存在。然而“一”在沒有第二或第三時也同樣存在。這樣二是二倍或一的二倍，而不是别的。同樣，三也不是别的東西，它是一的三倍，對于其他數碼同樣用類似的方法遞推。

這段文字平鋪直述，意思很明白，古希臘的畢達哥拉斯認為“萬物皆數”，花拉子米則更進一步，試圖對數追本溯源，并認為“衆數歸一”。雖說數字0跟随印度數字先到阿拉伯，再由阿拉伯傳播到世界各地，但數字0傳到阿拉伯隻被當作一個标記空位的符号，不認為它是單獨的一個數，所以花拉子米隻會說，“一”是任何數的根源，其中的“任何數”肯定不包括0。“一”是原始數，其他任何數都是在“一”的基礎上産生，這個沒問題，但是産生的方式有問題，他用的是乘法而不是加法，“一是一”，“二是一的二倍”，“三是一的三倍”，明顯的同語反複，這個不可取。

再比如晚近的皮亞諾算術公理系統，19世紀末，意大利數學家皮亞諾以三個不加定義的原始概念：自然數、0和後繼，以及五條公理來定義自然數，這五條公理分别是：

（1）0是一個自然數；（2）任何自然數都有一個後繼數，後繼數都是自然數；（3）0不是任何自然數的後繼數；（4）不同的自然數有不同的後繼數，具有相同後繼數的自然數相同；（5）任何屬于0的性質，如果也屬于每個具有該性質的自然數的後繼數，便屬于所有自然數。

就本性而言，不管以何種方式來刻畫自然數都應當揭示其三個方面的性質：一、自然數有無窮多個；二、在這無窮多的自然數中，有一個最小數，沒有最大數；三、對于任意一個自然數n，都存在另一個自然數n＋1，并且n＋1＞n。對照這三點，我們來看皮亞諾的三個概念和五條公理。

首先，自然數有無窮多個，這一條隐含在“後繼”概念之中，“後繼”以及“後繼數”是理解皮亞諾算術公理系統的關鍵所在。皮氏公理第二條“任何自然數都有一個後繼數，後繼數都是自然數”，它的意思是說“任何自然數的後面必然跟着另一個自然數”，0是第一個自然數，0後面必然跟着另一個自然數，我們心照不宣一緻默認它是1。1後面跟着2，2後面跟着3，…，一個跟一個，一個跟一個，繼而跟出所有的自然數，隻要我們能夠一緻想象“一個跟一個”的狀态沒有完結，就可以認為所有的自然數有無窮多個，無疑這裡的無窮是潛無窮。

在不知無窮為數，沒有數∞的情況下，人們當然不會想到使用∞來生成∞個自然數，隻能借助“後繼”這樣的概念，通過規定每個自然數都必有一個後繼數的巧妙辦法來實現無窮個自然數，巧妙歸巧妙，但不算高明，不過是亞裡士多德潛無窮觀念落實到數學中的一個具體應用而已，這樣的應用稍作留意還會發現很多。

如此一來，第二個問題也順帶解決了，自然數之中，有一個最小數0，沒有最大數，遵循“後繼”的方法，我們得不出最大自然數，得到的都是N，按照第二條公理，N之後必然還是一個自然數。

看到這，是不是覺得“後繼”概念太給力了，一下解決兩個問題。其實不然，反倒可以說成也“後繼”，敗也“後繼”，“後繼”本身是一個非常寬泛的概念，經不起深究，一個跟一個，一個數後面跟怎樣的一個數呢?沒有限定和說明，欲跟出自然數，必然要求人們一緻想象一個數的“後繼”，是而且隻能是該數加1所得的結果，即N之後是N＋1。當人們的想象出現不一緻，幹嘛非得加1，如果加2呢?得出的則是偶數：0，2，4，6，8，…，不是全體自然數。

如果加0呢?得出的則是：0，0，0，0，…。

由于有第三條公理“0不是任何自然數的後繼數”，所以全是0的情況不會出現，而且它還能排除有限幾個數，首尾相連，依次相繼，構成死循環的情況。例如0、1、2、3四個數，0的後繼為1，1的後繼為2，2的後繼為3，倘若3的後繼為0，則構成一個死循環，産生不了新數，這種情況不會發生。再者，第四條公理“不同的自然數有不同的後繼數”，可以保證得出的所有自然數兩兩相異，各不相同。這兩條合在一起，但凡第一個數是0，第二個數不是0，那麼此後産生的所有數都将不同，于是可以認為經由“後繼”方法所得到的是無窮個不同的數。

如果減1呢?得出的則是：0，－1，－2，－3，…，這些仍然是無窮個不同的數，但變成有最大數，沒有最小數，仍然不符合人們心裡預期的自然數，于是我們還得為這套公理系統增加一條隐含假設，即後繼數必然大于前數。即便退一步，不追究這些細枝末節的問題，按照默認設置就是加1，那麼1從哪裡來?它是自然數嗎?翻來覆去看五條公理，沒有哪一條說到1呀，公理不給定，我們怎麼能說有就有、說用就用呢。凡此種種都在說明“後繼”不是一個好概念，也不是一個好方法，通過它不能确切唯一地得到自然數。

再來看第三條，對于任意一個自然數n，都存在另一個自然數n＋1，并且n＋1＞n。這一條通過算數公理很容易證明：由等身公理n＝n，可知n＋1一定不等于n；再則，有序公理1＞0，兩邊加n必然有n＋1＞n，隻要n≠∞，則n＋1＞n恒成立。

皮亞諾并沒有對此進行直接證明，而是給出了一個證明框架，即他的第五公理：任何屬于0的性質，如果也屬于每個具有該性質的自然數的後繼數，便屬于所有自然數，通常稱為數學歸納法。具體來說，如果P是一個性質，并且0具有性質P，當任意一個自然數n具有性質P時，如果n的後繼數也具有性質P，則斷言所有自然數都具有性質P。

數學歸納法在數學中有着廣泛的應用，它之所以有效，不是因為數學，而是取決于邏輯。從“一個自然數n”推出“所有自然數”，是從特稱判斷的前提推出全稱判斷的結論，從特稱到全稱，這是“歸納”的由來；而這裡的“一個自然數n”必須是任意的，也就是說符号n可以指稱“所有自然數”中的任何一個，對任意的“一個自然數n”作出判斷怎麼就等同于對“所有自然數”作出判斷，任意特稱判斷怎麼就等同于全稱判斷呢?不知道，如果一時找不到原因，我們就将它作為公理接受下來，隻要這條公理沒問題，那麼數學歸納法在自然數範圍内便總是有效。

具體運用到自然數本身，設若0的後繼數大于0，對于任意一個自然數n都大于其前面一個數，如果n的後繼數也大于n，則斷言所有自然數的後繼數都大于該數。将自然數n的後繼數設定為n＋1，就可以在數學歸納法的框架中證明“對于任意一個自然數n，都存在另一個自然數n＋1，并且n＋1＞n”。

我們知道“數是可以運算的符号”，這已經是對數非常抽象地概括了，而皮亞諾則更進一步，将“運算”也拿掉，隻剩下符号，然後引入“後繼”概念，“後繼”本質上描述的是一種位置關系，因此皮亞諾所理解和定義的“數”，其實是一種隻有位置關系而沒有運算、隻有先後順序而沒有大小關系的符号。按照這個思路，皮亞諾算術公理所刻畫的“自然數”，應該是這個樣子：

A、A'、A''、A'''、…

準确地說，這不是一列數，而是一列标記位置的符号，這些符号可以理解為标記不同空間的地址，一個地址通往一個不同的空間，至于這些空間中具體放置什麼，它是不關心的，可以随便放，比如：

0、1、2、3、4、5、…這是我們最想看到的，也可以是：2、4、6、8、10、12、…當然也可以放置：牛、鬼、蛇、神、巫、蠱、…

這說明什麼?說明皮亞諾算術公理系統，與我們通常理解的自然數無關，通常理解的自然數必須先于或者在另一個與之平行的公理系統中存在，然後才有可能被放置到皮亞諾公理系統的地址空間中，讓皮亞諾公理系統呈現出“自然數”的樣子。也就是說，皮亞諾公理系統能夠定義出自然數這件事，不是邏輯推演必然得出的結果，而是我們一廂情願腦補的結果。同樣道理，在“後繼”概念的基礎上，定義出所謂的加法和乘法，減法和除法，并在這些運算的基礎上，定義出自然數、整數、有理數，乃至實數，其實都是在沙地上建造海市蜃樓。對此英國數學家羅素早有定論：

如果我們采用這個計劃，我們的定理證明将不是針對叫作“自然數”的一個确定的項的集合，而是針對具有某種性質的所有的項的集合。這樣的一個程序不是謬誤的；确實對于某些目的來說，它代表着一種有價值的概括。但是從兩種觀點來看，它沒有為算術給出一個合适的基礎。第一點，它并不使我們能夠知道是否存在證實皮亞諾公理的任何項集合；它甚至沒有給出對于發現是否存在這樣的集合的任何方式的最微弱的暗示。第二點，如已看到的，我們希望我們的數是能用來對普通對象計數的，這就要求我們的數應該具有一個确定的意義，而不僅僅要求它們應該具有某些形式性質。

基于算數公理定義自然數，用到的數是1，用到的運算是“＋”，一個數和一個運算就能演繹出多姿多彩無窮無盡的自然數，驚歎之餘，應當明白數的本質在于運算，數與數的運算是一對不可分割的概念，兩者必須在公理層面上同時運行，數的種子才能生根發芽、枝繁葉茂。理解皮亞諾公理系統不能離開這個本質，理解其他的算術公理系統亦是如此。

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