求線段比值毫無頭緒？那是因為你沒學會使用參數

在八年級數學幾何題中，求線段比值一直是難點，特别是在題目條件中沒有給出線段長度的前提下，很多學生感到毫無頭緒，這個時候，需要引入能表示線段長度的量，即設參數。

設參數也是初中數學的常用方法，可廣泛用于求線段比值、角度比值、面積比值等，因為在求比值的過程中，參數通常會被消掉，使用參數，一定記得“過河拆橋”，即消參。

題目

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是對角線BD上的一點，E是BC邊上的一點，PE=PA.

(1)如圖1，求∠APE的度數；

(2)如圖2，BE的垂直平分線交BD于點F，交BE于點G，求PF:AB的值；

(3)如圖3，PE交CD于點M，當∠CME=45°時，求BC:CE的值.

解析：

(1)含60°角的菱形，實際上可看作兩個等邊三角形拼成，屬于特殊菱形，而菱形又是軸對稱圖形，BD即是它的對稱軸，巧妙利用好這一性質，可讓證明過程簡化不少。

點P在BD上，于是連接PC，根據對稱性，PA=PC，再根據題目條件中的PE=PA，我們可得PC=PE，如下圖：

我們所要求的∠APE在四邊形ABEP中，因此∠APE=360°-∠BAP-∠ABC-∠E=300°-∠BAP-∠E，再根據對稱性，∠BAP=∠BCP=180°-∠PCE=180°-∠E，代入前式，即可得到∠APE=300°-(180°-∠E)-∠E=120°；

(2)我們知道菱形對角線平分一組對角，因此BD平分∠ABC，從而得到特殊∠PBC=30°，結合圖中的垂直平分線，我們可構造含30°角的直角三角形，同時在前一小題中，我們證明了等腰△PCE，不妨過點P作PH⊥BE，再構造出一個特殊直角三角形，如下圖：

鑒于題目并未給出任何邊長的條件，因此為求比值，需要設參數來表示線段AB和PF，設哪個呢？

菱形的邊長作用極其重要，首先我們可設菱形邊長為x，然後在Rt△BFG中，三邊數量關系為1：√3：2，因此再設FG=y，然後我們來探究如何表示PF。

在△BFG中，BF=2y，BG=√3y，點G是BE中點，因此BE=2BG=2√3y，所以CE=BE-BC=2√3y-x，前面已經證明過等腰△PCE，根據三線合一，可求出CH=√3y-x/2，再到第二個特殊直角三角形△BPH中，BH=BC CH=x √3y-x/2=√3y x/2，于是PH=y √3x/6，BP=2y √3x/3，所以PF=BP-BF=√3x/3，至此我們可以求出比值了，結果為√3/3；

(3)本小題增加了一個特殊角45°，那麼此時的比值又發生什麼變化呢？我們依然延續上一小題中的參數設置，連接AC交BD于N點，如下圖：

我們首先來計算一下相關的角度，在△MEC中，∠CME=45°，∠MCE=60°，所以得到∠E=75°，因此我們可以得到兩個等腰三角形，分别是△BPE和△PCE，再計算出∠CPE=30°，所以得到∠APC=90°，由對稱性求得∠BPC=45°，現在可以利用特殊直角三角形的邊長關系了。

仍然設菱形邊長為x，則CN=x/2=PN，BN=√3x/2，而BP=BN PN=√3x/2 x/2，于是BE=BP=√3x/2 x/2，所以CE=BE-BC=√3x/2-x/2，接下來比值就可以求，化簡後得√3 1.

在使用參數之前，如何想到用參數？題目條件沒有線段長，卻要求比值是其一，存在特殊邊長之間的關聯例如等腰直角三角形，含30°角的直角三角形等是其二，存在等量關系例如全等、對稱等是其三，除這道題外，許多其它問題也适用于參數法，例如解應用題，函數題，參數的意義在于輔助或簡化，最終它會被消掉，如果推演到最後參數居然還在，那肯定說明過程中存在問題。

其實不需要把參數看得有多麼高深莫測，當我們在學習角度表示是，标注∠1、∠2等，它們就是參數，同樣在解題過程中，線段名稱過多導緻尋找數量關系不方便，設一個字母例如x，y等表示，最終起到的作用是簡化過程。

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