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三重積分幾何意義

知識 更新时间:2024-06-23 10:49:49

  三重積分的幾何意義是不均勻的空間物體的質量。三重積分就是立體的質量。當積分函數為1時,就是其密度分布均勻且為1,質量就等于其體積值。當積分函數不為1時,說明密度分布不均勻。

  設三元函數f(x,y,z)在區域Ω上具有一階連續偏導數,将Ω任意分割為n個小區域,每個小區域的直徑記為rᵢ(i=1,2,...,n),體積記為Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每個小區域内取點f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ),作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ,若該和式當||T||→0時的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點的選取無關),則稱該極限為函數f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。

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