含字母系數的一元一次不等式（組）整數解問題是不等式（組）教學中的難點，許多學生在學習中覺得太難了，在解題中更是茫然無緒，不少老師在教學中也是不得要領，不知從何突破？本文介紹一種解法供大家參考．

首先，我們來重新認識一下方程的解與非解的含義：

如果x=m是關于x的方程f(x)=0的解，x=n不是方程f(x)=0的解，則f(m)=0，f(n)≠0.

與方程的解和非解的含義一樣，我們可以得到不等式的解與非解的含義如下：

如果x=m是關于x的不等式f(x)>0(或<0)的解，則f(m)>0(或<0)；

如果x=n不是不等式f(x)>0(或<0)的解，則f(n)≯0(或≮0)，即f(n)≤0(或≥0).

例如，已知x=2是關于x的不等式ax 3<x 3a的解，求a的取值範圍．

解：根據不等式解的含義，把x=2代入不等式，得

2a 3<2 3a，解得a>1.

又如，已知x=2不是關于x的不等式ax 3<x 3a的解，求a的取值範圍．

解：根據不等式非解的含義，把x=2代入不等式，得

2a 3≥2 3a，解得a≤1.

顯然，不等式的解與非解的含義是不難理解的，但重要的是運用這兩個含義解決不等式（組）整數解難題就再也不難了．

（一）不等式最小整數解問題

例1 已知關于x的不等式3(x-k)>x(1-k)的最小整數解為x=1，求k的取值範圍．

解析：因為不等式最小整數解為x=1，所以x=1是不等式的解，而比1的小的所有整數都不是不等式的解，而要保證比1的小的整數都不是該不等式的解，隻需要x=0不是該不等式的解就可以了．

分别根據不等式解與非解得含義，得

3(1-k)>1·(1-k)且3(0-k)≤0·(1-k)，

即3-3k>1-k且-3k≤0，

分别解之，得k<1且k≥0，

所以k的取值範圍是0≤k<1.

例2 求證：關于x的不等式k(2x-1)<x(k-3) 1的最小整數解不可能是x=0.

解析：假設原不等式的最小整數解是x=0，則x=-1不是該不等式的解，分别根據不等式解與非解得含義，得：

k(0-1)<0 1且k(-2-1)≥-(k-3)，

分别解之，得：k>-1且k≤-3/2，

所以-1<k≤-3/2；

把不等式化為(k 3)x<k 1，

因為不等式有最小整數解，所以k 3<0，k<-3,與x>-1矛盾，

所以不等式的最小整數解不可能是x=0.

評注：如果關于x的一元一次不等式ax>b（或ax<0）有最小整數解x=m，則a>0(或a<0)，且x=m-1不是該不等式的解．

（二）不等式最大整數解問題

例3 已知x=3是關于x的不等式3(x-k)-2(x-3) 6k<6的最大整數解，求k的取值範圍

解析：根據題意，x=3是不等式的解，x=4不是該不等式的解．

把x=3代入不等式，得

3(3-k)-0 6k<6，解得k<-1；

把x=4代入不等式兩邊，得

3(4-k)-2(4-3) 6k≥6,解得k≥-4/3.

所以k的取值範圍是-4/3≤k<-1.

例4 求證：關于x的不等式kx 1<2x-k的最大整數解不可能是x=1.

解析：假設不等式的最大整數解是x=1，則x=2不是該不等式的解．

把x=1代入不等式，得

k 1<2-k，解得k<1/2；

把x=2代入不等式兩邊，得

2k 1≥4-k，解得k≥1,與k<1/2矛盾．

所以已知的不等式的最大整數解不可能是x=1.

評注：如果關于x的一元一次不等式ax<b（或ax>0）有最大整數解x=m，則a>0(或a<0)，且x=m 1不是該不等式的解．

（三）不等式組沒有整數解

例5 已知關于x的不等式組

沒有整數解，求k的取值範圍．

解析：不等式組的整數解取決于x>0和3x 1<2k的整數解，由于x>0有最小整數，3x 1<2k有最大整數解，當兩個不等式中的最小整數解與最大整數解不兼容時，不等式組就沒有整數解．

因為x=1是不等式x>0的最小整數解，故依題意，x=1不是不等式3x 1<2k的解．根據不等式非解的意義，得：

3×1 1≥2k，解之，得k≤2，

所以k的取值範圍是k≤2.

例6 如果關于x的不等式組

沒有整數解，求k的取值範圍．

解：因為x<1的最大整數解是x=0，依題意，x=0不是不等式2x-1<3k的解，根據不等式非解的意義，得：

2×2-1≥3k，解之，得k≤1，

所以k的取值範圍是k≤1.

評注：如果不等式組中的一個不等式有最小整數解，另一個有最大整數解，當其中一個不等式的最小整數解（或最大整數解）不是另一個不等式的解時，該不等式組沒有整數解．

（四）不等式組有整數解

例7 如果關于x的不等式組

沒有整數解，求k的取值範圍．

解析：不等式組的整數解取決于x>1和2x-1<3k的整數解，由于x>1有最小整數，2x-1<3k有最大整數解，當兩個不等式中的最小整數解與最大整數解有交集時，不等式組就有整數解．

因為x=2是不等式x>1的最小整數解，故依題意，x=2是不等式2x-1<3k的解，根據不等式解的意義，得：

2×1-1<3k，解之，得k>1/3，

所以k的取值範圍是k>1/3.

例8 如果關于x的不等式組

有整數解，求k的取值範圍．

解析：由不等式組可知不等式4x>3k-9有最小整數解，x<-2有最大整數解，且最大整數解為x=-3，依題意，x=-3是不等式4x>3k-9的解，根據不等式解得意義，得：

-12>3k-9，k<-1.

所以k的取值範圍是k<-1.

評注：如果不等式組中的一個不等式有最小整數解，另一個有最大整數解，當其中一個不等式的最小整數解（或最大整數解）也是另一個不等式的解時，該不等式組就有整數解．

（五）不等式組有若幹個整數解

例9 如果關于x的不等式組

恰有三個整數解，求k的取值範圍．

解析：由不等式x>1的最小整數解為x=2，依題意，不等式組有三個整數解，這三個整數解隻能是x=2，3，4．

因為不等式(x-5)/3 (2x-k)/2<0有最大整數解，為了使不等式組恰有三個整數解，其最大整數解隻能是x=4，而為了使它的最大整數解為x=4，隻需要使x=5不是它的解即可．

分别由x=4是不等式(x-5)/3 (2x-k)/2<0的解和x=5不是它的解，得：

解之，得22/3<k≤10．

所以k的取值範圍是22/3<k≤10.

例10 如果關于x的不等式組

恰有四個整數解，求k的取值範圍．

解析：由不等式x/2-1<0，解得x<2，其最大整數解為1，所以不等式組的四個整數解隻能是x=1，0，-1，-2，

因為不等式2（x-k） 1>k有最小整數解，為了使不等式組恰有四個整數解，其最小整數解隻能是x=-2，而為了使它的最小整數解為x=-2，隻需要使x=-3不是它的解即可．

分别由x=-22（x-k） 1>k的解和x=-3不是它的解，得：

解之，得-5/3≤k<-1．

所以k的取值範圍是-5/3≤k<-1．

評注：不等式組有若幹個整數解問題，先由其中的一個不等式确定其最小整數解（或最大整數解），再由整數解的個數确定另一個不等式的最大整數解（或最小整數解），然後由不等式最大整數解（或最小整數解）确定字母系數的取值範圍．

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