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數學上十大悖論

教育更新时间:2025-02-05 08:55:52

　　1982年美國高考數學卷上有這樣一道題目，說小圓的半徑是大圓的三分之一，小圓繞着大圓滾回原來的位置需要滾多少圈？

　　這道題目在當時引起了很大的轟動，因為30萬人中隻有三個人答對了題目，就連出題人也不會。這就涉及到我們今天所講的“硬币悖論”了。

　　什麼是硬币悖論呢？

　　數學上十大悖論（硬币悖論原理是什麼）(1)

　　将兩枚硬币上下整齊地擺放，然後将上面的硬币沿着下面的硬币滾回原來相交的位置，你會發現上面運動的硬币實際上轉了兩圈，而不會我們想象中的一圈。而這種反直覺的現象就被稱為“硬币悖論”。

　　雖然說兩個圓所接觸的路徑是圓周長，但是對于滾動的圓心來說它走過的路徑是原來的兩倍。

　　數學上十大悖論（硬币悖論原理是什麼）(2)

　　這類題目有一個公用的算法，就是用公轉圓的圓心畫出圓的半徑除以公轉圓的半徑，就可以算出公轉圓的圈數。拿美國高考的數學題舉例，裡面的半徑為3，外面的半徑為1，那麼公轉圓的半徑就是4，就可以很容易得知這道題應該是4圈了。

　　知道圈數以後就要不妨思考一下，為什麼外側滾動的硬币會多走一圈呢？

　　數學上十大悖論（硬币悖論原理是什麼）(3)

　　我們可以假設一個周長為一米的圓在一個一米長的直線上，當圓滾完直線也就結束了一圈。那接下來我們将這根直線折成等邊三角形，會發現這時圓會多轉一圈。

　　原來，當圓滾動到拐角時圓心就要轉動120°，經過三個拐角就是360°，這就剛好是多出來的那一圈，接下來我們将直線轉為正方形，五邊形等，都可以發現滾動圓需要走的圈數都要額外加一圈。依次類推，當這個多邊形無限邊到圓時也需要增加一圈。

　　數學上十大悖論（硬币悖論原理是什麼）(4)

　　這就出現了我們做的硬币實驗，兩個相同的硬币，外圍的會繞兩圈才能回到起點。

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