“算術-幾何平均數”既不是算術平均數，也不是幾何平均數，由素有“數學王子”之稱的德國數學家高斯首先發現和研究。算術-幾何平均數，當然與“算術平均數”和“幾何平均數”這兩個概念有很深的關系。我們知道，但凡一個數學概念或定理，哪怕再簡單不過，隻要和高斯扯上關系，那就一定不簡單了。帶着耐心，我們來看看高斯關于算術-幾何平均數的研究。

對于兩個正實數a和b（不妨設0<a≤b），(a b)/2叫做a和b的算術平均數，√ab叫做a和b的幾何平均數。

我們有基本不等式，

等号當且僅當a=b時成立。

證明也不難:

從數的角度

從形的角度

一目了然。

算術平均數和幾何平均數的概念相當簡單，絕大部分人認識到基本不等式這一步，可以說是功德圓滿了。繼續研究的話，無非兩個方向：

第一，由兩個數向三個、四個乃至任意n個正數的推廣：

第二，研究其他類型的平均，比如立方平均，平方平均，調和平均（倒數平均）以及它們之間的大小關系，得到更高級的基本不等式：

也就是“立方平均數≥平方平均數≥算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數”。

上面的不等式同樣可以推廣到任意n個正數的情形。

絕大部分數學家走到這一步，也可以說是功德圓滿了。

高斯，卻另辟蹊徑。

平均，平均，既然叫做”平均數“，自然介于兩者之間，緩和了最大與最小。完整的基本不等式應該是：

由a和b，得到(a b)/2和√ab，顯然

距離不到原來的一半。

令a1=√ab,b1=(a b)/2,再計算它們的算術平均數和幾何平均數，又有

同樣地，它們之間的距離為

這個過程可以無限進行下去，也就是

那麼數列{an}單調遞增有上界，數列{bn}單調遞減有下界，且當n趨于無窮時，

于是數列{an}和{bn}收斂到相同的極限。

高斯就把這個極限叫做a和b的算術-幾何平均數（Arithmetic-Geometric Mean）。記為AGM(a,b)。

高斯當時隻研究了算術-幾何平均數。但順着他的這個思路，我們當然還可以發明“算術-平方平均數”，“算術-調和平均數”，“平方-調和平均數”等概念。隻需要在上面的叠代過程中，an和bn分别取an-1和bn-1不同的平均數即可。

這些平均數的數值都很容易計算，編個程序，叠代幾次就能得到精度相當高的結果，收斂很快。

比如對1和2，小編用MATLAB編程，得到它們的算術-幾何平均數約等于1.456791031046907，算術-平方平均數約等于1.540836469462489，平方-調和平均數約等于1.45458688740267。有興趣的話可以試着計算其他組合的平均數。在計算的過程中，小編發現了一個很有意思的結論。限于篇幅，暫且不表。

本來兩個數的平均，算數平均也好，幾何平均也好，都很簡單，計算簡單，結果也簡單。對1和2，它們的算術平均是1.5，幾何平均是√2，平方平均是√(5/2),調和平均是4/3。然而對如此簡單的1和2，它們的算術-幾何平均數的賣相卻如此“醜陋”！1.456791031046907.....看起來似乎還是個超越數！！！到底是何方神聖？

高斯并不僅僅滿足于數值運算。很快，他就找到算術-幾何平均數AGM(a,b)的解析表達：

圓周率π，三角函數，微積分......等等，算術-幾何平均數怎麼會和這些概念扯到一起？？？

當年，高斯22歲。

研究這些平均數，有什麼用呢？

對我們來說，可以作為一種數學遊戲，具有啟發思維的作用。也許，可以應用在某個我們暫時還不知道的領域。

但高斯，他研究算術-幾何平均數絕非一時的遊戲之作。

作為一個“能從九霄雲外的高度按照某種觀點掌握星空和深奧數學的天才“，高斯發現，算術-幾何平均數跟橢圓積分有很深的聯系。

舉個例子，有不少人對雙紐線比較熟悉，雙紐線是平面上到兩個定點的距離之積為常數的動點軌迹（類比一下橢圓），長得像一個無窮符号。方程如下：

學過高數的人應該知道，雙紐線的面積是2a^2。但我們這裡來看雙紐線的周長。

為了簡單起見，在上圖中取a=1，它的極坐标方程是

根據對稱性，其周長

利用高斯計算AGM(a,b)的公式，我們很容易得到該雙紐線的周長

為了紀念高斯，稱

為高斯常數（Gauss's Constant）。

雙紐線的周長計算其實是一種橢圓積分，而橢圓積分的反演就是橢圓函數。橢圓函數可以說是19世紀的數學界在複變函數論方面取得的最為輝煌壯觀的成果，沒有之一。

人類曆史上第一個被研究的橢圓函數，就是雙紐線周長的積分反演。而研究它的，正是高斯。

橢圓函數在數論方面的應用發展出了模函數、模曲線、自守形式等理論。上世紀末，懷爾斯證明了費爾馬大定理，應用的基本工具之一正是橢圓函數。

高斯22歲發現的定理

有人對證明感興趣嗎？證明僅僅用到了高等數學的基礎知識，沒有任何知識盲點。如果感興趣的話，私信或留言告訴我，分享你的思考證明過程。視情況，我将在下一篇貼出。

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