原作始發于 廣東科學中心 官方微信公衆号

《指南針與均值》（廣東科學中心「院士說」| 指南針與平均值）一文介紹了均值。不過均值隻描述了數組的平均趨向，不能說明數組的差異。

例如：

數組“1，2，3”的均值是：

數組“0，1，5”的均值也是：

我們怎樣區别出這些數組的差異呢？這就需要方差了。

方差這一術語最早是由羅納德·費雪（Ronald Fisher，1890—1962）提出的。費雪出生于英國倫敦一個富商家庭。他是家中的幼子，小時候最受父母和哥哥姐姐們的寵愛。然而在他14歲的時候母親突然病故，接着父親的生意失敗，全家不得不從倫敦最好的區域搬到了最差的區域。他頂着這些突如其來的壓力，在哈羅公學（Harrow School）赢得了他的第一個獎學金。費雪視力很差，不能在電燈下久讀。因此他常常閉着眼睛用心算來解決他最喜歡的數學問題。1909年，費雪考入劍橋大學并獲得獎學金。

圖1， 年輕時的羅納德·費雪

1918年,他在自己的一篇論文中第一次提出了方差（variance）的概念。他說在分析變異時既要考慮均值的差别，也要考慮均值偏差的平方值，這就是方差。

假定兩個數組的差值為：

那麼均值是：

方差是：

這裡“n-1”稱為自由度（degree-of-freedom）。因為在計算均值χ時，所有的數據都已經被使用了一次了，在計算方差時再使用這些數據，隻有n-1個數據是獨立的。因此自由度是n-1。否則計算就會有誤差。在上面的例子中，數組“1，2，3”的方差是1；數組“0，1，5”的方差是7。

在數據分析時，方差非常重要。在上面的例子中，兩組數據的均值都是2，但方差不同（圖2）。方差大，結果可信度就低。

圖2，方差小（黃色曲線）與方差大（藍色曲線）的區别

1919年，費雪在英國古老的洛桑農業實驗站（Rothamsted Agricultural Experiment Station）找到一份穩定的工作。一天，費雪有禮貌地為他女同事穆裡爾（Muriel Bristol）沖了一杯奶茶。穆裡爾搖搖頭說不喝。費雪覺得奇怪就追問為什麼。穆裡爾說她隻喝先沖好茶再放牛奶的奶茶，而費雪先放了牛奶再加茶，順序錯了，味道不好。費雪認為牛奶先放後放，攪拌一下就是一樣的了，沒有區别。穆裡爾堅持說她能分辨出來。這時，穆裡爾的男友來了，他建議做個實驗。于是，費雪沖了8杯奶茶，4杯先沖茶再放牛奶，4杯先放牛奶再沖茶。他把這8杯奶茶随機地給穆裡爾品嘗，穆裡爾正确地分辨了所有的奶茶。費雪嘟囔着說這是不可能的，但也隻好認輸。

今天我們知道，牛奶中的蛋白和脂肪是憎水的，在熱水的作用下會蜷曲起來生成小滴。但其中的乳清蛋白會在71℃左右分解，改變性質，發出焦糖的味道。當牛奶被倒進滾燙的熱茶裡時，飛濺而下的牛奶會快速分裂和分離，并浸潤在熱茶之中，進而導緻大量的乳清蛋白分解。相比之下，将熱茶倒進牛奶中，牛奶的表面會阻止了牛奶的分裂，從而最大限度地減少乳清蛋白的分解，因此也就沒有了焦糖的味道。

費雪回去後做了一個估算，要憑運氣準确地分辨出8杯奶茶的概率隻有70分之一（你可以推算出來嗎？）。所以穆裡爾應該是能辨别出奶茶的味道。接着，他又計算出要憑運氣在8杯奶茶中正确地分辨出6杯奶茶的概率是四分之一。不過此時辨别能力的置信度（confidence level）也打了折扣。費雪還想到了許多其他情況，如數據太少、品嘗奶茶的順序等等。

在過後的幾個月裡，他做了大量的奶茶實驗和計算，并取得了突破性的成果。1921年，他提出了可能性（Likelihood）的概念。接着，他寫了兩本書：《研究人員的統計學方法》（Statistical Methods for Research Workers）和《實驗設計》（The Design of Experiments）。在《研究人員的統計學方法》一書中，費雪定義了統計學的三個目标：

• 确定數據的采樣空間（population）;
• 确定數據的分布（distribution）。
• 決定估計值（如均值、方差等統計值）；

書中還定義了一個以他的姓氏的第一個字母命名的概率分布F-分布。今天，這個分布是統計學中最常用的分布之一。

《實驗設計》一開始就講述了奶茶實驗。接着講述了好幾種實驗設計的方法。其中一個是用一個二值的指标X = {0，1}來預測一個二值的結果Y = {0，1}時會發生四種情況：

• X = 0, Y = 0 （結果為陰性，預測也為陰性，真陰性，預測準确）；
• X = 0，Y = 1 （結果為陽性，預測為陰性，假陰性，預測錯誤）；
• X = 1，Y = 0 （結果為陰性，預測為陽性，假陽性，預測錯誤）；
• X = 1，Y = 1 （結果為陽性，預測為陽性，真陽性，預測準确）。

假定這四種情況的概率如下表

那麼預測的精度就是：

預測的敏感度是：

預測的特異度是：

這三個指标都十分重要的，敏感度描述找出真陽性的概率，特異度描述找出真陰性的概率，缺一不可。例如，用發燒（X）來預測Covid-19病毒感染（Y）， 被病毒感染的未必發燒（FN），所以敏感度會不好。另一方面發燒的未必是由于病毒感染（FP），所以特異度也不好。

1933年，費雪回到劍橋大學，接替著名的統計學家卡爾·皮爾森（Karl Pearson，1857—1936）任講座教授。皮爾森發明了相關系數（correlation coefficient）。他還在倫敦大學建立了世界上第一個統計學系，堪稱統計學之父。但他曾經撰文批評過年輕的費雪。費雪一直耿耿于懷。費雪在劍橋大學的時候，卡爾·皮爾森的兒子埃貢·皮爾森（Egon Pearson，1895—1980）也在劍橋大學任講座教授。埃貢·皮爾森發明了假設檢驗（Hypothesis Testing）的方法，是著名的統計學家。費雪和他的關系也不好。

1957年費雪從劍橋大學退休。1959年閑不下來的他去了澳大利亞工作。1962年在那裡去世。他是研究統計學的，知道吸煙與癌症的關系。但卻一直酷愛抽他的煙鬥，最後死于癌症。

圖3 晚年的羅納德·費雪

1959年，費雪的二女兒與埃貢·皮爾森的博士研究生喬治·巴斯（George Box，1919—2013）結婚。1960年，他們搬到了美國。巴斯在威斯康辛麥迪遜大學任教，是著名的統計學家。

我的恩師吳賢銘教授（Shien-Ming Wu，1924—1992）師從巴斯。所以，費雪和皮爾森都是我的曾祖師。

撰文：杜如虛

排版&編輯 | Mosh魔時

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!