一般地，函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是 R 。
常見的一類指數函數的底(e為自然常數，即等于)，即。
上式中的自變量為實數。後來，數學家們将自變量的取值範圍延拓到複數域，則指數函數變為，其中自變量為複數。當時，，這就是著名的歐拉恒等式。
那麼，當自變量為矩陣時，是個什麼情況？
指數是矩陣的指數函數咋來的？我們假定有這樣一個參數微分方程組：
不難發現該方程組的一組特解是圓的方程：
上述微分方程組用矩陣形式表示為：
也即
其中矩陣
這個方程進一步表示為
将視為一個變量，采用分離變量法解該微分方程，得到
也即
這樣就求得
也即
帶入值後，變成了
我們得到了一個非常簡潔的指數為矩陣的指數函數！
如何理解指數為矩陣的指數函數？通常的可以理解為，可以理解為，。如果指數不是整數但是有理數時，則指數可以用分數來表示，如可以理解為。如果指數是無理數，則如何理解呢？
這個時候，需要借助泰勒級數這個超級數學工具：
這個級數對複數也成立，也即
如果将該公式的指數推廣到矩陣，則應該得到
上式中，表示為個矩陣的乘積。當為零時，為單位矩陣。
我們根據上述延拓到矩陣指數的泰勒技術計算一下時的值。帶入公式得到
計算如下值并帶入上式：
其中
...
得到
将各項的矩陣相加，進一步得到
我們發現上述等式右邊的2×2矩陣，正好與正弦、餘弦的泰勒公式對應：
這樣，我們就推導出
令，則得
也即
這個式子與歐拉恒等式
完全對稱：
如果記為，則（矩陣的平方為負單位矩陣！！！），矩陣為虛單位矩陣。則我們得到非常優雅的矩陣域的歐拉恒等式：
此外，與也有類似的性質：
同樣的，借鑒，我們可以将前面推導出來的結論：
修改為矩陣領域的歐拉公式：
因為：
,
這裡，我們不得不驚歎于數學的完美！！！
用GeoGebra驗證矩陣指數的泰勒公式，結果正确：
我們在試着求一下的值：
極氪001
再來驗算一下時，用泰勒公式計算的值：
用上述剛推導出來的歐拉公式計算的值：
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