本篇我們來證明一個常見的優美的積分等式,聰明你是否看出如下等式曾在哪裡出現過呢?沒錯如下和正态分布中概率密度函數很像。但我們僅從積分學的角度來分析正面它。·證明它靈活的數學技巧,你準備好了嗎?
因為e^-x^2是關于x的偶函數,所以我們明顯可以想到
所以你隻需要證明,學過概率論與數理統計的朋友,應該很熟悉這個式子
根據泰勒公式我們得到
所以當x不等于0時,e^>1 x,将x換成x^2或者-x^2可得,可得
所以很快得到一個等式
那麼對于任意的自然數n,我們有
分别加上積分符号,得到:
所以根據廣義積分的收斂你可以輕易得到:
為了讓大家更好理解,我還是補充上上述等式的來源
為了求解上述不等式兩邊的積分值,我們首先假設x=cot(t)=1/tant中的積分變量x替換成t,cot(t)是區間(0,π/2)上關于t的連續可微函數,因為0<cot(t)< ∞,cot(π/2)=0, dcot(t)/dt=-1/sint^2,又由于1 x^2=1/sin^t,所以我們得到
同理,若x=cost, 0<t<π/2, dcost/dt=-sint, 1-x^2=sint^2,則得到
另一方面,根據變量變換
我們得到
則上面的開頭得到的積分不等式就變成了
根據類似于斯特林公式可得到(如有必要會有專門文章解說)
因此
對上式進行變換x=t/2^1/2,則可得
即
這個就是數學中标準正态分布的概率密度公式。
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