正态分布微積分舉例-tft每日頭條

正态分布微積分舉例

生活更新时间:2024-09-04 20:25:04

本篇我們來證明一個常見的優美的積分等式，聰明你是否看出如下等式曾在哪裡出現過呢？沒錯如下和正态分布中概率密度函數很像。但我們僅從積分學的角度來分析正面它。·證明它靈活的數學技巧，你準備好了嗎？

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）1

因為e^-x^2是關于x的偶函數，所以我們明顯可以想到

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）2

所以你隻需要證明，學過概率論與數理統計的朋友，應該很熟悉這個式子

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）3

根據泰勒公式我們得到

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）4

所以當x不等于0時，e^>1 x,将x換成x^2或者-x^2可得，可得

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）5

所以很快得到一個等式

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）6

那麼對于任意的自然數n，我們有

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）7

分别加上積分符号，得到：

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）8

所以根據廣義積分的收斂你可以輕易得到：

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）9

為了讓大家更好理解，我還是補充上上述等式的來源

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）10

為了求解上述不等式兩邊的積分值，我們首先假設x=cot(t)=1/tant中的積分變量x替換成t，cot(t)是區間（0,π/2）上關于t的連續可微函數，因為0<cot(t)< ∞，cot(π/2)=0, dcot(t)/dt=-1/sint^2,又由于1 x^2=1/sin^t,所以我們得到

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）11

同理，若x=cost, 0<t<π/2, dcost/dt=-sint, 1-x^2=sint^2,則得到

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）12

另一方面，根據變量變換

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）13

我們得到

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）14

則上面的開頭得到的積分不等式就變成了

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）15

根據類似于斯特林公式可得到（如有必要會有專門文章解說）

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）16

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）17

因此

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）18

對上式進行變換x=t/2^1/2,則可得

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）19

即

正态分布微積分舉例（從微積分角度證明）20

這個就是數學中标準正态分布的概率密度公式。

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