六大絕招

類型一

利用已知垂直關系證垂直

例題：已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求證:AD⊥面SBC

證明：

∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC

又∠ACB=90° ∴AC⊥BC

又AC，SA⊆面SAC ∴BC⊥面SAC

∴BC⊥AD

又AD⊥SC

且BC，SC⊆面SBC

∴AD⊥面SBC

變式：如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求證：AD⊥AC

類型二

利用等腰三角形中線證垂直

例題：在三棱錐P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求證PC⊥AB

證明：

取AB的中點M，連接PM，CM

∵AC=BC，M是AB的中點，∴AB⊥CM

∵AP=BP，M是AB的中點，∴AB⊥PM

∴AB⊥面PCM

∴AB⊥PC

變式：四棱錐P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求證面PAD⊥面PCD

類型三

利用勾股定理逆定理證垂直

例題：如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊成為3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求證：PA⊥面ABCD

證明：

∵PA=4，AB=3，PD=5

∴PA2 AB2=PD2，

∴三角形PAD是直角三角形，

∴PA⊥AD

又PA⊥CD，

∴PA⊥面ABCD

變式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求證：BF⊥面ACFD

類型四

利用三角形全等證垂直

例題：如圖，三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求證：AB⊥PC

證明：

取AB的中點M，連接CM，

∵△PAB是等邊三角形，∴PB=PA

又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°

∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC

∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中點，

∴CM⊥AB

又在等邊△PAB中，M是AB的中點，∴PM⊥AB

∴AB⊥面PMC

∴AB⊥PC

變式：如圖，在以A、B、C、D、E、F為頂點的五面體中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四邊形ABCD為平行四邊形，且∠BCD=45°，求證：CD⊥BF

類型五

利用平行關系證明垂直

例題：如圖四棱錐P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中點，求證：面PCE⊥面PCD

證明：

分别做PC，PD的中點M，N兩點，連接EM，MN，NA

∵MN為△PCD的中位線，

∴MN∥CD且MN=1/2CD

又∵E是AB的中點，

∴AE∥CD且AE=1/2CD

∴四邊形AEMN是平行四邊形，則EM∥AN，

∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，

且∠PDA=45°，∴△PAD是等腰直角三角形

又N是PD中點，∴AN⊥PD

∵四邊ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，又PA⊥CD，

∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，

又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD

又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD

∵EM⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD

變式：如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖2，證明CD⊥面A1OC.

類型六

利用向量數量積證明垂直

例題：如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，側面PBC⊥底面ABCD，證明：PA⊥BD。

證明：

取BC得中點O，連結PO，

∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形

∴PO⊥底面ABCD

以BC的中點O為坐标原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐标系如下：

變式：如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2，D是CC1的中點，求證：AB1⊥面A1BD

常見的平面圖形垂直模型

1. 等腰三角形的中線垂直底邊

在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，則有：AD⊥BC

2. 勾股定理的逆定理得到垂直

在三角形中，如果AB2 BC2=AC2，則有：AB⊥BC

3. 菱形的對角線互相垂直

已知四邊形ABCD為菱形，兩條對角線AC與BD相交與點O，則有：AC⊥BD

4. 矩形内部線段存在的垂直關系

四邊形ABCD為矩形，如果AD:DE=AB:AD，則有：BD⊥AE

5. 直角梯形内部線段存在的垂直關系

a. 四邊形ABCD為直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD:DC=AB:AD，則有：BD⊥AC

b. 四邊形ABCD為直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD=DC=m，AB=2m，則

有：AC⊥BC

6. 等腰梯形内部線段存在的垂直關系

四邊形ABCD為等腰梯形，且AB∥DC，AD=BC，CE為等腰梯形ABCD的高，若CE=1/2(AB CD)，則有：AC⊥BD

7. 圓的直徑所對的圓周角為90°

AB為圓O的直徑，C為圓上任意一點，則有：AC⊥BC

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