初中數學必須掌握的9種證明垂直的方法（下篇：數學方法技巧歸納）

證明兩直線垂直的方法有哪些？

1、利用直角三角形中兩銳角之和為90°

2、利用全等三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。

初中數學1

3、利用勾股定理的逆定理證明

4、利用等腰三角形“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

初中數學2

5、利用菱形的對角線互相垂直證明

6、相似三角形證明

7、圓周角定理的推論：

8、圓的切線垂直于過切點的半徑

9、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形

其中方法1、2 為初一知識點；方法3、4為初二知識點；方法5、6、7、8、9為初三知識點。

前四種是證明垂直最基礎也是最重要的方法，請參考我的上篇文章《初中數學：證明兩條直線垂直的方法（上篇，數學方法技巧歸納）》

初中數學3

一、利用直角三角形中兩銳角之和為90°

由直角三角形的定義與三角形的内角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90° ，即如果一個三角形的有兩個角和為90°，那麼第三個角必然為90°。

二、利用全等三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。

三、利用勾股定理的逆定理證明

四、利用等腰三角形“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

前四種是證明垂直最基礎也是最重要的方法，請參考我的上篇文章《初中數學：證明兩條直線垂直的方法（上篇，數學方法技巧歸納）》

五、利用菱形的對角線互相垂直證明：菱形的對角線互相垂直。

例5、如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB＝∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC的延長線于點E.

(1)求證：AC⊥BD；

(2)若AB＝14，cos∠CAB＝7/8，求線段OE的長．

（1）證明：∵ ∠CAB＝∠ACB

∴AB = BC

又∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴四邊形ABCD為菱形

∴AC⊥BD（棱形的對角線相互垂直）

六、相似三角形證明

例6、如圖，等腰Rt△ABC,中線BE，CA=CB，∠AEF=∠BEC,CF交BE于D

求證：BD⊥CF

證明：過F作FH⊥AC

∵∠AEF=∠BEC

∴△FHE ∽△BCE

∵BE是中線，，BC=CA

∴FH/HE = BC/CE = 2:1 可設EH=x

那麼FH = 2x， ∵∠A = 45

∴AH = HF= 2x ∴EC=AE= 2x x=3x

∴HC = 3x x=4x

∴HC/FE= BC/CE = 2:1

∴△FHC ∽△ECB

∴∠FCH = ∠EBC

又∠EBC ∠BEC =90

∴∠FCH ∠BEC =90

∴BD⊥CF

七、圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

例7、AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，則∠BAD的度數為(　　)

A．30° B．50° C．60° D．70°

解：如圖，連接BD，

∵∠ACD＝30°，∴∠ABD＝30°.

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°.

故選C.

八、圓的切線垂直于過切點的半徑

例8、如圖，⊙O的直徑AB＝4，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，OC＝5，則AD的長為(　　)

九、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形

例9、如圖：已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，求證：△ABC是直角三角形．證明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．

同理∠2=∠B．∵∠2 ∠B ∠A ∠1=180°，即2（∠1 ∠2）=180°，∴∠1 ∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．

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