在 19 世紀之前，解方程一直是代數學的中心問題，早在古巴比倫時代，人們就會解二次方程，但是自覺地、系統地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世紀的事。公元 9 世紀的時候，代數之父阿爾·花剌子模發表專著《代數學》，是第一本解決一次方程及一元二次方程的系統著作，他因而被稱為代數的創造者。

然而直到 16 世紀，人們對于三次方程的研究才取得了突破，意大利數學家費羅找到了能解一種三次方程的方法，就是形如{\displaystyle x^{3} mx=n\,}的方程。事實上，如果我們允許{\displaystyle m\,},{\displaystyle n\,}是複數，所有的三次方程都能變成這種形式，但在那個時候人們還不知道複數。

1553 年尼科洛·塔爾塔利亞在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題，最早得出三次方程式一般解。後來塔爾塔利亞将這個方程式告訴了卡爾達諾，卡爾達諾在經過仔細研究之後，給予了其幾何證明，并且發表在自己的著作《大術》中，被稱為卡爾達諾公式。

卡爾達諾公式的解法如下：

運用卡爾達諾公式可解任意複系數的三次方程，不過這個解法還是有一些不完善的地方，因為它會出現負數的平方根，卡爾達諾既承認負數有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為詭變量，虛數就此從卡爾達諾這裡誕生，糾纏了數學界數百年。

卡爾達諾

而三次方程成功地解出之後，卡爾達諾的學生費拉裡受到啟發，很快解出了四次方程，解法也發表在卡爾達諾《大術》中：

後來另外一位在代數發展史上具有重要貢獻的數學界韋達對二次方程、三次方程、四次方程進行了梳理簡化，變得更加完善。

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系數的代數式 (即隻含有限項的加、減、乘、除和開方五種代數運算的表達式)來表示，五次及五次以上方程到底是否也行，這個問題吸引了衆多的著名數學家，一開始大家信心滿滿地向五次方程發起沖擊，但是卻遇到了各種挫折。

到了 1770 年，拉格朗日詳細考察了人們求解 2、3、4 次方程的方法，首次意識到 5 次及其以上方程求根公式可能不存在，他将自己的思考發表在了《關于代數方程解的思考》，不過，他還是設想了一種理論上的關于“利用根的置換理論來解方程式”的理論來試圖為解決這個問題提供一種可能性。

雖然他并沒有解決這個問題，但他提出的根的置換理論揭示了問題的本質，也是這個問題最後解決所出現的曙光。

歐拉為尋找五次方程的求解提供了一種新思路。他通過一個巧妙的變換把任何一個全系數的五次方程轉化為具有“x^5 ax b=0”的形式。這一優美的表達反應出歐拉傾向于可以找出五次方程的通解表達式。（事實上歐拉的想法是錯的）

到了 1801 年，高斯證明分圓多項式 -1 xp（p為素數）可以用根式求解，這使得人們意識到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

這個時候，數學史上的天才少年阿貝爾出現了，阿貝爾13歲就展露數學才華，他學習如牛頓、歐拉等數學大家的理論，甚至能從中找出他們的小漏洞。

1824年,阿貝爾的工作揭示了高次方程與低次方程的根本不同，證明了五次或五次以上的代數方程沒有一般的用根式求解的公式，然而仍然存在一些特殊的高次多項式能夠用根式求解，如何區分能夠求解的和不能求解的多項式仍然是一個未決的問題。

阿貝爾曾經自己的研究成果寄給高斯，但是高斯并不相信阿貝爾可以用六頁紙解決這樣的難題，所以棄之不理。

阿貝爾後來還沒有來得及徹底解決這個問題，就去世了，年僅 27 歲。而這剩下的工作就交由另外一位天才少年伽羅瓦來完成了。

伽羅瓦 16 歲時候才接觸數學，因為那時候中學到了二年級才可以去聽初等數學課，當時伽羅瓦一看到教科書，就覺得這東西壓根不值得看。他認為這些教科書不談推理方法而隻談技巧簡直是誤人子弟，學習數學就應該透過現象去看本質，還需要掌握明确而富有表達力的語言。

影視作品裡的伽羅瓦

所以他在一年的時間裡，自學了法國著名數學家勒讓德爾的《幾何原理》、那末拉克朗日的《論數值方程解法》、《解析函數論》、《函數演算講義》，還逐漸熟悉了歐拉、高斯、雅科比的著作。

後來，他曾經多次向科學院投稿，然後柯西遺漏了他的論文、傅立葉接到論文之後暴斃、泊松直接看不懂。

經曆三次挫折的伽羅瓦投身政治，抗議國王的專制統治，以“企圖暗殺國王罪”不幸被捕在獄中，更加不幸的是，在監獄裡他還染上了霍亂。

電影中的伽羅瓦形象

結果剛出獄伽羅瓦想把自己的數學成果發表，又被人陷害入獄，在監獄裡度過了最後一年。

這個時候他好死不死在監獄裡愛上了一個煙花女子，偏偏這個煙花女子的情敵還是一個軍官，據說槍法在全國都有名。這個愣頭青居然還答應了和情敵比槍。。。

深知必死無疑的伽羅瓦打算在最後一夜将自己五年來所有的研究成果都給記錄下來，據說遺稿空白處還寫着“我沒有時間了，我沒有時間了。。。”

各位，你要知道，他這一夜記錄下的是他20多年人生僅存的研究成果。也就是他流世的所有東西也都是這一個晚上趕出來的。。。大家想想，這難度會有多高，不僅要保證每一筆計算不錯，還不能遺漏每一個步驟。

伽羅瓦遺稿中的一頁

第二天，果然就如他所料，一槍被軍官幹翻，直接被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕溝内，所以今天他的墳墓已無蹤迹可尋。

他的朋友 Chevalier 遵照伽羅瓦的遺願，将他的數學論文寄給高斯與雅科比，但是都石沉大海。高斯曾經因為得遇伯樂成就輝煌人生，卻在最需要成為一名伯樂的時候看走了眼！

直到10年之後，法國著名數學家劉維爾看到了伽羅瓦的手稿，經過嚴密計算，最終肯定伽羅瓦結果之正确、獨創與深邃，他還花了很久的時間對其進行闡釋說明，1846年最後将其發表在極具有影響力的《純粹與應用數學雜志》上，并向數學界推薦。

劉維爾

由此，伽羅瓦這份手稿上的“伽羅瓦理論”震驚了整個數學界。堪稱是神級之作。“伽羅瓦理論”中最華彩的部分就是天才般地提出了“群論”這個概念。

一般說來，群指的是滿足以下四個條件的一組元素的集合：（1）封閉性 （2）結合律成立 （3）單位元存在 （4）逆元存在。具體解釋如下：

伽羅瓦利用伽羅瓦理論證明了如何區分五次方程能夠求解的和不能求解的多項式。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。

設(x)是域F上一個不可約多項式，假定它是可分的。作為(x)的分裂域E，E對于F的伽羅瓦群實際上就是(x)=0的根集上的置換群，而E在F的中間域就對應于解方程(x)=0的一些必要的中間方程。方程(x)=0可用根式解的充分必要條件是E對于F的伽羅瓦群是可解群。由于伽羅瓦證明了當n≥5時n次交錯群An是非交換的單群，當然是不可解的，而且一般的n次方程的伽羅瓦群是n次對稱群，因而一般5次和5次以上的方程不可能用根式解。

設G為一個元素的集合，稱G内的元素為元，*為針對G這個集合的元素的運算。設G為有限集X上的置換的集合，若G滿足群的定義，則(G，⋅)被稱為一個置換群。（對置換群不理解的可以再去仔細看一下）

伽羅瓦的革命性在于其洞察到了多項式的解的對稱性可以由多項式本身觀察到而不必求解，而這一對稱性本身完全決定了其解是否存在根号表達式。所以為了描述對稱性，他引進了群的想法。

可以說伽羅瓦不僅證明一般高于四次的代數方程不能用根式求解，而且還建立了具體數字代數方程可用根式解的判别準則。

而且利用伽羅瓦理論更是一舉解決了 2000 多年懸而未決的幾何學三大難題。這三大難題分别是：

三等分角問題：将任一個給定的角三等分。

倍立方體問題：求作一個正方體的棱長，使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。

化圓為方問題：求作一個正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。

伽羅瓦理論提出了解決這一類問題的系統理論和方法，後來，可以說，伽羅瓦理論中的群論是近世抽象代數的基礎，它是許多實際問題的數學模型，群論完全影響了後來數學、物理、化學等多門學科的發展。

在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響之外，還生成了幾何群論這一新的數學分支。

群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。于是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。

另外，愛因斯坦的相對論、量子力學都應用到了群論的相關知識，懷爾斯為了解決費馬大定理更是耗費了相當長的時間來熟悉群論。被視為可以實現宇宙大一統的規範場論即是用某些特殊的被稱為李群的群去描述物理上的對稱性。

在算術尤其是代數數論中，伽羅瓦群是最核心的對象，在算術和拓撲的交融中，伽羅瓦群在其中扮演着樞紐的角色，它與表示論的融合則是另一個現代數學的宏偉建築朗蘭茲綱領的夢想， 朗蘭茲綱領指出這三個相對獨立發展起來的數學分支：數論、代數幾何和群表示論，實際上是密切相關的，朗蘭茲綱領便是旨在将它們連接融合。

朗蘭茲綱領

可以說現代數學、物理和計算機的方方面面早已被群論所滲透，你翻遍科學世界的所有領域，都會有伽羅瓦理論存在的蹤影。而提出伽羅瓦理論時，伽羅瓦才 21 歲。

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