上兩篇文章我們闡述和讨論了有關反物質的一些問題，也不能說全部吧，基本上把反物質帶來的一些問題都涉及到了，有興趣的朋友可以戳下面鍊接：

圍剿反物質︱它為何消失？存在反光子嗎？反物質能否産生反引力

今天不談宇宙，我們将讨論一個數學問題：無限自然數的和是什麼，放空思想，清理思維，開始一場數學之旅吧！

"有限如何把握無限？" —— 約翰·德萊頓發散級數

無限的不一緻性和奇異性使得數學充滿了樂趣。如果你觀察無窮級數1 2 3 4 ···，你會發現它的和不能給出一般意義上的一個确定的值，而是向無窮發散。這個級數叫做發散級數。發散級數本質上是一類無窮級數，其無窮序列的部分和沒有有限極限。所以，為了更好地理解它我們來看看什麼是部分和?

顧名思義，一個部分和是序列或數列中某個特定部分的總和。求和是從第一項到那個特定項的總和。為了更清楚一點，看看這個系列1 2 3 4 ····的部分和。

第一項(1) = 1

第一項 第二項(1 2) = 3

第一項 第二項 第三項(1 2 3) = 6

第一項 第二項 第三項 第四項(1 2 3 4) = 10

因此，序列1 2 3 4 ····的部分和為1，3，6，10，15...等等。那麼，現在你一定已經理解什麼是部分和了。

我們得到的部分總和也可以叫做三角數，因為它們可以排列成等邊三角形

該特殊系列1 2 3 4 ···的第n個部分和由以下簡單公式給出:

1 2 3 4 n = n(n 1)/2

從公式中很容易看出部分和的值趨向于 ∞（正無窮）。因此這是一個發散級數。

收斂級數

當我們了解了發散級數，學習收斂級數也變得很重要。那麼什麼是收斂級數?看看這個數列:

正如你看到的，當你向級數的最後一項移動時，這一項變得越來越小，我們可以說它無限趨于零。而且它們的部分和趨于極限。這種級數叫做收斂級數。我們可以求出這類級數的定和。

一些小夥伴可能對此有所懷疑:一個包含無數項的數列怎麼可能有一個确定的值呢？它應該是無限的，難道不對嗎？(有這樣的懷疑和疑問也不奇怪，因為偉大的古代哲學家芝諾，也被這個問題弄糊塗了。)事實上這個數列收斂到2 。讓我告訴為什麼會無限趨近于2。

• 以下是該系列的視覺圖像表現:

第一個正方形的面積 第二個正方形的面積= 2平方。

如圖所示，我們有兩個方塊(每個方塊1平方米)，一個是整體，其面積代表數列的第一項，即1，第二個正方形代表所有後面項的總和。如你所見，我們已經将第二個正方形分成了不同的部分:紅色= 1/2，藍色= 1/4，黃色= 1/8，綠色= 1/6等等。因此，以類似的方式，即使我們把第二個正方形分成無限多個部分，它們的面積之和仍然是1平方米。這就是這個級數所表示的，所以我們得到了答案2。

• 如果你熟悉幾何級數(你一定在高中讀過)，這裡有一個計算無窮幾何級數的漂亮公式:

當-1 < r < 1時

[r是公比，a是第一項，在收斂級數中r = 1/2, a = 1]

因此，如果我們在無窮收斂級數中應用這個公式，我們會得到:

[顯然-1 < 1/2 <1]

如果你還不有點不信，那麼還有一個更簡單的方法:

然後

現在從2Sn減去Sn我們得到，

當n趨于為無限大是S趨于2，是不是覺得很簡單！

我們談論了無窮級數，現在讓我們回到我們的無窮自然數數列，著名的斯裡尼瓦瑟·拉馬努金求和。

拉馬努金無限自然數的和

雖然我們知道和1 2 3 4 ···是發散的，我們找不到一個确定的值，但是拉馬努詹開發了一種方法來計算這個表達式的值。

斯裡尼瓦瑟·拉馬努金是一個天才印度數學家，他生活在英國統治印度期間。雖然他沒有接受過正規的純數學訓練，但他在數學分析、數論、無窮級數和連分數方面都做出了巨大的貢獻，包括解決一些被認為是無法解決的數學問題

拉馬努金發展了他自己的方法來解決這類無窮級數，用兩種不同的方法求解了無窮自然數列，其中比較簡單的方法如下圖:

拉瑪努詹的原始筆記本

所以，讓我把整個式子再寫一遍:

正如公式所示，拉馬努金把這個系列作為常數 c 減去c的4倍，要得到這樣一個級數:1- 2 3 - 4 ····

但是他怎麼會得到:1 - 2 3 - 4 5 - 6 ··· = 1/（1 1）²，因為拉馬努金知道:1-1 1-1 ···=1/（1 1），而且

你現在可能有點困惑，這兩個等式怎麼成立，不要慌，讓我們逐一讨論這兩個新數列。

首先看看系列1–1 1–1 ····這也是一個無窮級數并且不收斂。它也被稱為格蘭迪級數。因為這是一個發散級數，所以它缺少一個确定的和。如果我們按照下面的方法在級數中加上括号，我們會得到一個“0”:

(1 - 1) (1 - 1) (1 - 1) = 0 0 0 = 0

如果我們把括号放在稍微不同的地方，把第一項放在一邊，我們就會得到答案“1”以下内容:

1 (1-1) (1-1) (1-1) = 1 0 0 0 = 1

你會感歎，這麼神奇的數列！這就是為什麼這是也是一個收斂級數。然而，數學家對此系列還有一個奇怪的答案即1/2。如果我們把這個級數當作收斂級數，并用我們的一般代數方法，我們會得到這個和的一個特殊答案:

s = 1-1 1-1 ···

1-S = 1(1-1 1-1 ···)= 1-1 1-1 ···= S

1-S = S

1 = 2S，

因此，S =1/2

即1-1 1-1 ···=1/2

也許拉馬努金就是這樣得到他的1/（1 1）。

讓我們直接進入下一個系列，1 - 2 3 - 4 ···，看看會有什麼結果。這也是一個發散的無窮級數，你可以看到它的部分和也不趨向于任何有限極限。這個系列比前一個更加複雜，即使通過Cesaro（塞薩羅）求和也無法解決。它需要一些更複雜的求和，比如阿貝爾求和。但有一些其他更簡單的方法來顯示這個總數。一種不太嚴格的方法，如下:

S =1 - 2 3 - 4 5 - 6 ····

0 S = 0 1 - 2 3 - 4 5 - ····

2S =1 - 1 1 - 1 1 - 1 ····

這是我們剛才說的格蘭迪數列，所以我們有，

有些人可能會說，我們不能在開頭加上“0”。這與數學規則不一緻。還有另一個可信的方法來證明這一點:

拉馬努金寫道:

1 - 2 3 - 4 = 1/（1 1）^2

我們知道

1-1 1-1 ····=1/（1 1）

所以我們可以寫:

1-2 3-4 ···=(1 - 1 1 - 1 ···) ^2

= (1 - 1 1 - 1 ···)× (1 - 1 1 - 1 ···)

你可能會想，我們怎麼平方這個無限的格蘭迪級數，它不是很複雜嗎?确實如此，要找到這個結果需要無限次的乘法和加法。我們試着用簡單得多的方式來解釋，看以下内容:

我們可以寫，(1 - 1 1 - 1 ···) ^2

并用以下方式直觀地表示它:

如果你觀察對角線上的陰影并把數字加起來，你會得到以下一數列:

1 - 2 3 - 4 ····

這就是我們如何寫:

1 - 2 3 - 4 ····=(1 - 1 1 - 1 ···) ^2=1/（1 1）^2=1/4

在得到所有重要的結果之後，讓我們回到拉馬努金的總結和他的結果。現在你可以很容易地理解他是怎麼寫的：

因此，1 2 3 4 …= -1/12

所以，看似不合邏輯的總和得到了證明。但是……

作業不能這樣寫！

這個結果可能看起來很神奇很有成就感，但是如果你把這個答案寫在你的數學作業裡，你可能會得到一個很大的0！

一般來說，把無窮級數當作有限和來處理是不正确的。在無限發散級數的任意位置加零可能導緻結果的不一緻性。例如，步驟4c = 0 4 0 8 ···不符合加法恒等式。即使在級數的前面添加一個0(就像我們在1 - 2 3 - 4 ···中做的那樣)也會導緻不一緻的結果。例如:

如果

1 2 3 4 ··= x…(Ⅰ)

兩邊都加上0，

0 1 2 3 ··= 0 x = x…(Ⅱ)

由(Ⅰ)減去方程(Ⅱ)得到，

(1 - 0) (2 - 1) (3 - 2) (4 - 3) ···= (x - x)

1 1 1 1 ···= 0……(ⅲ)

現在兩邊同時加0，

0 1 1 1 1 1 ··= 0 0…(iv)

再從(iii)減去(iv)

1 0 0 0 ···= 0

即，1 = 0

這明顯是矛盾的，因此我們在無窮級數中任意位置加零的過程都是不正确的。

解決這個問題隻有一個辦法。我們可以通過對函數的依賴關系來約束插入零的位置，并跟蹤序列中的每一項。例如，在1 2 3 4 ···系列中，每一項n都是一個數字，如果我們将n提升為一個函數n-s，其中‘s’是一個複變量，那麼可以确定隻添加了相似的術語。由此産生的系列可以用更合法的方式操縱。

通過使用解析開拓關于黎曼ζ函數（ζ函數正則化)我們可以擴展它的域來給出1 2 3 4 =-1/12。讓我們看看如何:

我們知道：

現在，通過将函數乘以2×2^-8我們得到：

如果我們用下面的方法進行減法運算，我們會得到:

因此，我們有

根據數學規則，這是完全可以的。通過分析延拓，我們可以把s = -1，然後我們會得到，

因此，我們以更嚴格的方式證明了結果。然而，拉瑪努詹也發展了自己的公式來求解這些類型的無限發散級數。這種方法被稱為拉馬努金求和。

拉馬努金在給G.哈迪寫道: “親愛的先生，我很高興閱讀你1913年2月8日的來信。我期待着你的回複，就像倫敦一位數學教授寫的那樣，要求我仔細研究布羅姆維奇的無窮級數，不要陷入發散級數的陷阱。我告訴他，根據我的理論，這個級數的無窮多個項之和:1 2 3 4 ⋯= 1/12。如果我告訴你這些，你會立刻向我指出精神病院是我的目标。我詳述這一點僅僅是為了讓你相信，如果我在一封信中指明我前進的路線，你将無法遵循我的證明方法。……” 拉馬努金，在他的給哈迪的第二封信，1913年2月27日那麼，這個結果有什麼用？

這個結果在物理學的許多領域都很有用。例如，在玻色子弦理論中，結果被用來計算無限次量子諧振的總能量。這個事實也被用來說明弦理論在26維以外的維度上是不一緻的。

1 2 3 4 ···的正則化也有助于計算一維标量場的卡西米爾力。-1/12的符号反映了卡西米爾力有吸引力。這一驚人的結果也可能在量子力學的其他領域以及未來更多領域得到應用

結論

所以，數學非常合乎邏輯，有時會給我們帶來一些有悖常理的結果。要麼是我們真的錯了，要麼我們的宇宙就是這樣。有時數學會給我們一些奇怪的結果，科學家有時容易忽略這些數學假象，但現在有一點是肯定的，這個看似不合常理的數學公式在物理的許多計算中起到了一定的作用。斯裡尼瓦瑟·拉馬努金為數學的發展做出了重要的貢獻。

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