多邊形内角和分類讨論類型題?《11.3 多邊形及其内角和》，今天小編就來說說關于多邊形内角和分類讨論類型題?下面更多詳細答案一起來看看吧!

多邊形内角和分類讨論類型題

《11.3 多邊形及其内角和》

一、選擇題：

1．一個多邊形的外角中，鈍角的個數不可能是（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

2．不能作為正多邊形的内角的度數的是（　　）

A．120° B．（128）° C．144° D．145°

3．若一個多邊形的各内角都相等，則一個内角與一個外角的度數之比不可能是（　　）

A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4

4．一個多邊形的内角中，銳角的個數最多有（　　）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個

5．四邊形中，如果有一組對角都是直角，那麼另一組對角一定（　　）

A．都是鈍角 B．都是銳角

C．是一個銳角、一個鈍角 D．互補

6．若從一多邊形的一個頂點出發，最多可引10條對角線，則它是（　　）

A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形

7．若一個多邊形共有十四條對角線，則它是（　　）

A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形

8．一個凸多邊形除一個内角外，其餘各内角的和為2570°，則這個内角的度數等于（　　）

A．90° B．105° C．130° D．120°

二、中考題與競賽題

9．若一個多邊形的内角和等于1080°，則這個多邊形的邊數是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

三、填空題：

10．多邊形的内角中，最多有　　個直角．

11．從n邊形的一個頂點出發可以引　　條對角線，這些對角線将這個多邊形分成　　個三角形．

12．如果一個多邊形的每一個内角都相等，且每一個内角都大于135°，那麼這個多邊形的邊數最少為　　．

13．已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個内角與一個外角的度數之比為9：2，則這個多邊形的邊數為　　．

14．每一個内角都是144°的多邊形有　　條邊．

四、基礎訓練：

15．如圖所示，用火柴杆擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當擺到20層（N=20）時，需要多少根火柴？

16．一個多邊形的每一個外角都等于24°，求這個多邊形的邊數．

五、提高訓練

17．一個多邊形的每一個内角都相等，一個内角與一個外角的度數之比為m：n，其中m，n是互質的正整數，求這個多邊形的邊數（用m，n表示）及n的值．

六、探索發現

18．從n邊形的一個頂點出發，最多可以引多少條對角線？請你總結一下n邊形共有多少條對角線．

《11.3 多邊形及其内角和》

參考答案與試題解析

一、選擇題：

1．一個多邊形的外角中，鈍角的個數不可能是（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【考點】多邊形内角與外角．

【專題】計算題．

【分析】根據n邊形的外角和為360°得到外角為鈍角的個數最多為3個．

【解答】解：∵一個多邊形的外角和為360°，

∴外角為鈍角的個數最多為3個．

故選D．

【點評】本題考查了多邊形的外角和：n邊形的外角和為360°．

2．不能作為正多邊形的内角的度數的是（　　）

A．120° B．（128）° C．144° D．145°

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】根據n邊形的内角和（n﹣2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整數即可得到D選項正确．

【解答】解：A、（n﹣2）•180°=120•n，解得n=6，所以A選項錯誤；

B、（n﹣2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B選項錯誤；

C、（n﹣2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C選項錯誤；

D、（n﹣2）•180°=145°•n，解得n=，不為整數，所以D選項正确．

故選D．

【點評】本題考查了多邊形的内角和定理：n邊形的内角和為（n﹣2）•180°．

3．若一個多邊形的各内角都相等，則一個内角與一個外角的度數之比不可能是（　　）

A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】多邊形的外角和是360°，且根據多邊形的各内角都相等則各個外角一定也相等，根據選項中的比例關系求出外角的度數，根據多邊形的外角和定理求出邊數，如果是≥3的正整數即可．

【解答】解：A、外角是：180×=60°，360÷60=6，故可能；

B、外角是：180×=90°，360÷90=4，故可能；

C、外角是：180×=度，360÷=7，故可能；

D、外角是：180×=80°．360÷80=4.5，故不能構成．

故選D．

【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，理解外角與内角的關系是解題的關鍵．

4．一個多邊形的内角中，銳角的個數最多有（　　）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】利用多邊形的外角和是360度即可求出答案．

【解答】解：因為多邊形的外角和是360度，在外角中最多有三個鈍角，如果超過三個則和一定大于360度，

多邊形的内角與相鄰的外角互為鄰補角，則外角中最多有三個鈍角時，内角中就最多有3個銳角．

故選A．

【點評】本題考查了多邊形的内角問題．由于内角和不是定值，不容易考慮，而外角和是360度不變，因而内角的問題可以轉化為外角的問題進行考慮．

5．四邊形中，如果有一組對角都是直角，那麼另一組對角一定（　　）

A．都是鈍角 B．都是銳角

C．是一個銳角、一個鈍角 D．互補

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】由四邊形的内角和等于360°，又由有一組對角都是直角，即可得另一組對角一定互補．

【解答】解：如圖：

∵四邊形ABCD的内角和等于360°，

即∠A ∠B ∠C ∠D=360°，

∵∠A=∠C=90°，

∴∠B ∠D=180°．

∴另一組對角一定互補．

故選D．

【點評】此題考查了四邊形的内角和定理．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握四邊形的内角和等于360°．

6．若從一多邊形的一個頂點出發，最多可引10條對角線，則它是（　　）

A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形

【考點】多邊形的對角線．

【分析】根據多邊形的對角線的定義可知，從n邊形的一個頂點出發，可以引（n﹣3）條對角線，由此可得到答案．

【解答】解：設這個多邊形是n邊形．

依題意，得n﹣3=10，

∴n=13．

故這個多邊形是13邊形．

故選：A．

【點評】多邊形有n條邊，則經過多邊形的一個頂點所有的對角線有（n﹣3）條，經過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成（n﹣2）個三角形．

7．若一個多邊形共有十四條對角線，則它是（　　）

A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形

【考點】多邊形的對角線．

【分析】根據多邊形對角線公式，可得答案．

【解答】解：設多邊形為n邊形，由題意，得=14，

解得n=7，

故選：B．

【點評】本題考查了多邊形的對角線，熟記公式并靈活運用是解題關鍵．

8．一個凸多邊形除一個内角外，其餘各内角的和為2570°，則這個内角的度數等于（　　）

A．90° B．105° C．130° D．120°

【考點】多邊形内角與外角．

【專題】計算題．

【分析】可設這是一個n邊形，這個内角的度數為x度，利用多邊形的内角和=（n﹣2）•180°，根據多邊形内角x的範圍，列出關于n的不等式，求出不等式的解集中的正整數解确定出n的值，從而求出多邊形的内角和，減去其餘的角即可解決問題．

【解答】解；設這是一個n邊形，這個内角的度數為x度．

因為（n﹣2）180°=2570° x，

所以x=（n﹣2）180°﹣2570°=180°n﹣2930°，

∵0＜x＜180°，∴0＜180°n﹣2930°＜180°，

解得：16.2＜n＜17.2，又n為正整數，

∴n=17，

所以多邊形的内角和為（17﹣2）×180°=2700°，

即這個内角的度數是2700°﹣2570°=130°．

故本題選C．

【點評】本題需利用多邊形的内角和公式來解決問題．

二、中考題與競賽題

9．若一個多邊形的内角和等于1080°，則這個多邊形的邊數是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】多邊形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．

【解答】解：設所求正n邊形邊數為n，

則1080°=（n﹣2）•180°，

解得n=8．

故選：B．

【點評】本題考查根據多邊形的内角和計算公式求多邊形的邊數，解答時要會根據公式進行正确運算、變形和數據處理．

三、填空題：

10．多邊形的内角中，最多有　4　個直角．

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】由多邊形的外角和為360°可求得答案．

【解答】解：當内角和90°時，它相鄰的外角也為90°，

∵任意多邊形的外角和為360°，

∴360°÷90°=4．

故答案為：4．

【點評】本題主要考查的是多邊形的内角與外角，明确任意多邊形的外角和為360°是解題的關鍵．

11．從n邊形的一個頂點出發可以引　n﹣3　條對角線，這些對角線将這個多邊形分成　n﹣2　個三角形．

【考點】多邊形的對角線．

【分析】根據n邊形對角線的定義，可得n邊形的對角線，根據對角線的條數，可得對角線分成三角形的個數．

【解答】解從n邊形的一個頂點出發可以引n﹣3條對角線，這些對角線将這個多邊形分成n﹣2個三角形，

故答案為：n﹣3，n﹣2．

【點評】本題考查了多邊形的對角線，由對角線的定義，可畫出具體多邊形對角線，得出n邊形的對角線．

12．如果一個多邊形的每一個内角都相等，且每一個内角都大于135°，那麼這個多邊形的邊數最少為　9　．

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】根據多邊形的外角和定理，列出不等式即可求解．

【解答】解：因為n邊形的外角和是360度，每一個内角都大于135°即每個外角小于45度，

就得到不等式：，解得n＞8．

因而這個多邊形的邊數最少為9．

【點評】本題已知一個不等關系就可以利用不等式來解決．

13．已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個内角與一個外角的度數之比為9：2，則這個多邊形的邊數為　11　．

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】先根據多邊形的内角和外角的關系，求出一個外角．再根據外角和是固定的360°，從而可代入公式求解．

【解答】解：設多邊形的一個内角為9x度，則一個外角為2x度，依題意得

9x 2x=180°

解得x=（）°

360°÷[2×（）°]=11．

答：這個多邊形的邊數為11．

【點評】本題考查多邊形的内角與外角關系、方程的思想．關鍵是記住多邊形的一個内角與外角互補、及外角和的特征．

14．每一個内角都是144°的多邊形有　10　條邊．

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】多邊形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因為所給多邊形的每個内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此題還可以由已知條件，求出這個多邊形的外角，再利用多邊形的外角和定理求解．

【解答】解：解法一：設所求n邊形邊數為n，

則144°n=（n﹣2）•180°，

解得n=10；

解法二：設所求n邊形邊數為n，

∵n邊形的每個内角都等于144°，

∴n邊形的每個外角都等于180°﹣144°=36°．

又因為多邊形的外角和為360°，

即36°•n=360°，

∴n=10．

【點評】本題考查根據多邊形的内角和計算公式求多邊形的邊數，解答時要會根據公式進行正确運算、變形和數據處理．

四、基礎訓練：

15．如圖所示，用火柴杆擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當擺到20層（N=20）時，需要多少根火柴？

【考點】規律型：圖形的變化類．

【分析】關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規律，按規律求解．

【解答】解：n=1時，有1個三角形，需要火柴的根數為：3×1；

n=2時，有5個三角形，需要火柴的根數為：3×（1 2）；

n=3時，需要火柴的根數為：3×（1 2 3）；

…；

n=20時，需要火柴的根數為：3×（1 2 3 4 … 20）=630．

【點評】此題考查的知識點是圖形數字的變化類問題，本題的關鍵是弄清到底有幾個小三角形．

16．一個多邊形的每一個外角都等于24°，求這個多邊形的邊數．

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】根據多邊形外角和為360°及多邊形的每一個外角都等于24°，求出多邊形的邊數即可．

【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，

則根據多邊形外角和為360°，可得出：

24×n=360，

解得：n=15．

所以這個多邊形的邊數為15．

【點評】本題考查了多邊形内角與外角，解答本題的關鍵在于熟練掌握多邊形外角和為360°．

五、提高訓練

17．一個多邊形的每一個内角都相等，一個内角與一個外角的度數之比為m：n，其中m，n是互質的正整數，求這個多邊形的邊數（用m，n表示）及n的值．

【考點】多邊形内角與外角．

【分析】設多邊形的邊數為a，多邊形内角和為（a﹣2）180度，外角和為360度得到m：n=180（a﹣2）：360，從而用m、n表示出a的值．

【解答】解：設多邊形的邊數為a，多邊形内角和為（a﹣2）180度，外角和為360度，

m：n=180（a﹣2）：360

a=，

因為m，n 是互質的正整數，a為整數，

所以n=2，

故答案為：，2．

【點評】本題考查了多邊形的内角與外角，解答本題的關鍵在于熟練掌握多邊形内角和與多邊形外角和．

六、探索發現

18．從n邊形的一個頂點出發，最多可以引多少條對角線？請你總結一下n邊形共有多少條對角線．

【考點】多邊形的對角線．

【分析】從n邊形的一個頂點出發，最多可以引n﹣3條對角線，然後即可計算出結果．

【解答】解：過n邊形的一個頂點可引出n﹣3條對角線；n邊形共有條對角線．

【點評】本題主要考查的是多邊形的對角線，掌握多邊形的對角線公式是解題的關鍵．

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