一、探索性問題
是指對數學問題能在實驗、猜想、合情推理的基礎上,進行探索和研究,并予以證實;并能在新的情景中正确地表述數量關系,在創造性地思考問題的基礎上,對較簡單的問題得出一些新穎的結果。
例1 已知角α、β、
為銳角,且
,試求
的值。
解:這類求關系式的值的問題一般的解題策略為,先特值确定所求關系式的一個值,然後猜想所求關系的值為該值,再證明。
首先分别令α、β、都為
,
=1,于是猜想
的值為1。對猜想的結論進行證明:
證明:左邊=
二、開放性問題
例2. 設函數
,若是偶函數,則t的一個可能值是__________。
解法1:由已知得
又因是偶函數
所以
所以
恒成立
所以
解法2:是由f(x)平移得到的,是偶函數,所以可以設
而
,所以t可以為
例3 已知函數
,試寫出它的一個性質__________。
分析:中學數學讨論的函數性質有函數的定義域,值域(包括最大值和最小值),單調性,奇偶性,周期性等,函數是由兩個十分常用的函數y=sinx和y=cosx組成,在同一坐标系中畫出這兩個函數的圖像即可得到函數f(x)的圖像,根據圖像便可以讨論該函數的性質。
解:據該函數的圖像(圖像略)可以得到如下結論:
(1)此函數的定義域是R;
(2)該函數的值域是
;
(3)該函數是以2π為最小正周期的周期函數;
(4)當且僅當x=2kπ和x=
時,該函數取得最大值1;
(5)當且僅當
時,該函數取得最小值
;
(6)在
上是增函數,在
是減函數,在
上是增函數,在
是減函數。
以上各性質隻需回答其一。
三、判斷真假性問題
例4 采用如下方法判斷函數
的奇偶性是否正确。
因為
是奇函數,所以f(x)是奇函數。
解:此解答是錯誤的。由于簡化過程中約去了分子、分母的公因式
,使得
因定義域不同而不是同一個函數,故不能應用約分後的函數直接求約分前函數的奇偶性,本例的正确解答是:
令
,得一特解
的函數值。
因為
,而
無意義。
所以函數f(x)的定義域關于原點不對稱。
故函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數
四、模仿解答問題
例5 閱讀下面例題解法:實數x、y滿足
,
+
的值。
解:設
,化簡後得:
解得
因為
所以
因為
所以
試用上述解法解下列問題:已知
求
的最大值。
解:因為
設
所以
因此當
時,M有最大值
五、運用方程思想解題的問題
例6 已知
。
分析:
,和同角三角比的關系式
聯立形成一元二次方程求出
,這樣
為一個一元二次方程的兩個解,再求
。
解:因為
所以
因為
所以
是一元二次方程
的兩個解。
,
,所以
。
例7 已知
且α為第三象限角,求sinα與cosα。
解:
,因為α為第三象限角
所以
由此可得
,
所以
的兩個解
所以
六、追溯條件性問題
例8 請你寫出一個關于α的等式并加以證明,要使得等式
是你給出的等式中當α=20°和α=15°時的情形。
分析:注意到這兩個等式中三角比之間的運算方式相同,每個等式中的兩個角之間都是相差30°,根據這些特征便可構建一個關于α和α+30°角所滿足的等式。
解:命題:
證明:左邊=
說明:歸納概括一系列數學等式所具有的共同性質,從而猜想并證明具有一般意義的數學結論,使得原有的結論成為特例,這種由特殊到一般的推廣,是數學研究中常用的方法之一。
七、有關數學建模問題
例9 如圖1,某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的内接正方形PQRS為一水池,其餘的地方種花。若BC=α,∠ABC=θ,設△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2。
(1)用a,θ表示S1和S2;
(2)當a固定,θ變化時,求
取最小值時θ的值。
圖1
解:(1)因為BC=a,∠ABC=θ
所以AB=acosθ,AC=asinθ,
所以
又因為
所以
所以
(2)
所以
有最小值,最小值為
八、在物理中的應用問題
例10 已知電流I與時間t的關系式為:
(1)圖2是
在一個周期内的圖像,P(
,0),Q(
,0),試根據圖中數據求
的解析式;
(2)如果t在任意一段
秒的時間内,電流
都能取得最大值和最小值,那麼ω的最小正整數值是多少。
圖2
解:(1)
(2)因為
。
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