在學習角平分線的軸對稱之前，學習了全等三角形，因此很多同學都習慣性地利用全等三角形解題，不知道如何正确使用角平分線的性質定理或判定定理進行解題。本篇主要介紹角平分線的基本定義，角平分線的性質與角平分線的判定，學會用數學語言進行證明，而不是所有的題目都依靠全等三角形。

角平分線的定義，相信大家都不陌生，從一個角的頂點引出一條射線(線在角内)，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。在定義中，已知角平分線，得到兩個角相等，即“知一推一”，知道一個條件，推出一個結論。

通過角平分線的基本概念，可以得到兩個角的數量關系，兩個角相等，或者小角是大角的一半，或者大角是小角的兩倍。

角平分線的概念基本不會出錯，但是很多同學不會使用角平分線的性質定理與判定定理。角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。這句話中有兩個重點：（1）角平分線上的點；（2）距離，得到的結論是相等。

由1個角平分線 2個垂直得到線段相等，三個條件缺一不可。并且要注意的是，由角平分線的性質定理不能直接得到線段OA=OB，如果要得到這個結論，需要證明△PAO≌△PBO。

例題1：已知CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，垂足為E，若AC=4，BC=10，△ABC的面積為14，求DE的長．

分析：過點D作DF⊥AC交CA的延長線于點F，利用角平分線的性質得到DF=DE。再利用三角形面積公式得到1/2×DE×10 1/2×DF×4=14，然後解方程即可。

角平分線的判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，這句話有兩個重點：（1）距離；（2）相等，得到的結論為該點在角平分線上。與角平分線的性質定理一樣，也是隻三推一。

由兩個垂直 一個垂線段相等，可以推到角平分線。

例題2：已知：BP、CP分别是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．求證：PA平分∠MAN．

分析：作PD⊥BC于點D，根據角平分線的性質得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根據角平分線的判定定理證明即可。本題完全可以借助角平分線的性質定理和判定定理進行證明，不需要利用全等三角形。

例題3：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别為M，N．求證：FE=FD．

分析：根據條件可得到FM=FN，再根據角的度數可求得∠NEF=75°=∠MDF，可證明△EFM≌△DFN，可得到FE=FD。

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